Résolution de problèmes et raisonnement mathématique
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Preuve formelle
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anthropicclaude-haiku-4-5-20251001
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anthropicclaude-haiku-4-5-20251001
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10
Rigueur
10
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10
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10
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10
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10
Revue
La démonstration est mathématiquement parfaite et d'une grande rigueur. Le modèle respecte scrupuleusement toutes les contraintes : format Markdown, utilisation de LaTeX, absence de préambule et respect de la limite de mots. La structure est concise et efficace.
## Preuve par l'absurde : $\sqrt{2}$ est irrationnel
**Supposons le contraire** : $\sqrt{2}$ est rationnel.
1. Alors $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ et $\gcd(p, q) = 1$ (fraction irréductible).
2. En élevant au carré : $2 = \frac{p^2}{q^2}$, donc $p^2 = 2q^2$.
3. Par conséquent, $p^2$ est pair, ce qui implique que $p$ est pair. Posons $p = 2k$.
4. Alors $4k^2 = 2q^2$, d'où $q^2 = 2k^2$, ce qui signifie que $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
5. **Contradiction** : $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse $\gcd(p, q) = 1$.
**Conclusion** : $\sqrt{2}$ est irrationnel.
anthropicclaude-opus-4-6
9.4/108.3 s
anthropicclaude-opus-4-6
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Exactitude
10
Rigueur
10
Notation
9
Complétude
10
Fidélité
9
Global
9.38
Revue
La preuve est mathématiquement irréprochable : toutes les étapes sont correctement justifiées, l'hypothèse d'irréductibilité est posée explicitement, la contradiction est clairement identifiée et la conclusion est formelle. La notation LaTeX est bien utilisée avec `\dfrac`, `\mathbb{Z}`, `\pgcd`, `\blacksquare`, bien que `\pgcd` ne soit pas une commande LaTeX standard (on utilise habituellement `\gcd` ou `\text{pgcd}`), ce qui constitue un léger défaut. Le format markdown respecte bien les exigences (titre `##`, étapes numérotées, LaTeX inline) et la longueur est conforme (~120 mots), sans préambule superflu.
## Démonstration par l'absurde de l'irrationalité de $\sqrt{2}$
1. **Hypothèse :** supposons $\sqrt{2}$ rationnel. Alors $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$, et $\dfrac{p}{q}$ irréductible (c'est-à-dire $\pgcd(p,q) = 1$).
2. En élevant au carré : $2 = \dfrac{p^2}{q^2}$, donc $p^2 = 2q^2$.
3. $p^2$ est pair, donc $p$ est pair. On pose $p = 2k$, $k \in \mathbb{Z}$.
4. Alors $4k^2 = 2q^2$, soit $q^2 = 2k^2$. Donc $q^2$ est pair, et $q$ est pair.
5. $p$ et $q$ sont tous deux pairs : cela **contredit** $\pgcd(p,q) = 1$.
6. L'hypothèse est fausse. Par conséquent, $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. $\blacksquare$
anthropicclaude-opus-4-7
10.0/106.0 s
anthropicclaude-opus-4-7
Tokens1 129
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Exactitude
10
Rigueur
10
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
10
Revue
La démonstration est mathématiquement irréprochable et parfaitement rigoureuse. Le modèle respecte scrupuleusement toutes les contraintes du prompt : le format Markdown est correct, l'usage de LaTeX est impeccable, l'absence de préambule est respectée et la longueur est idéale (environ 100 mots). La structure est claire et concise comme demandé.
## Irrationalité de $\sqrt{2}$
1. **Hypothèse absurde.** Supposons que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. Alors il existe $p, q \in \mathbb{N}^*$ tels que
$$\sqrt{2} = \frac{p}{q}, \quad \text{avec } \pgcd(p, q) = 1.$$
2. **Élévation au carré.** On obtient $p^2 = 2q^2$, donc $p^2$ est pair, et par suite $p$ est pair (car le carré d'un impair est impair). Écrivons $p = 2k$.
3. **Conséquence sur $q$.** En substituant : $4k^2 = 2q^2$, d'où $q^2 = 2k^2$. Ainsi $q^2$ est pair, donc $q$ également.
4. **Contradiction.** $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui contredit $\pgcd(p, q) = 1$.
5. **Conclusion.** L'hypothèse est fausse : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. $\blacksquare$
anthropicclaude-sonnet-4-6
9.4/105.1 s
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10
Rigueur
10
Notation
9
Complétude
10
Fidélité
9
Global
9.38
Revue
La preuve est mathématiquement irréprochable, couvrant toutes les étapes nécessaires avec une rigueur exemplaire. Le format markdown est respecté (titre ## , étapes numérotées, LaTeX correct), sans préambule. La longueur est légèrement en-dessous de 120 mots mais reste dans l'esprit 'très concise'. La commande `\pgcd` est non-standard en LaTeX vanilla (devrait être `\gcd` ou définie), ce qui minore légèrement la note de notation.
## Irrationalité de $\sqrt{2}$
1. **Hypothèse** : supposons $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. On peut écrire $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$, et $\pgcd(p, q) = 1$.
2. **Élévation au carré** : $2 = \dfrac{p^2}{q^2}$, donc $p^2 = 2q^2$.
3. **$p$ est pair** : $2 \mid p^2 \Rightarrow 2 \mid p$, soit $p = 2k$.
4. **$q$ est pair** : en substituant, $(2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2$, donc $2 \mid q$.
5. **Contradiction** : $2 \mid p$ et $2 \mid q$ contredisent $\pgcd(p, q) = 1$.
**Conclusion** : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. $\blacksquare$
coherecommand-r-08-2024
8.6/105.3 s
coherecommand-r-08-2024
Tokens590
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10
Rigueur
9
Notation
9
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9
Fidélité
8
Global
8.63
Revue
La démonstration est mathématiquement correcte et rigoureuse, avec toutes les étapes clés bien présentes et la contradiction clairement explicitée. Le format markdown est respecté avec le titre `##` et les étapes numérotées, et le LaTeX est bien utilisé. Cependant, le texte introductif avant les étapes numérotées n'est pas lui-même intégré dans la liste, et la longueur (~120 mots) est légèrement dépassée, ce qui constitue un petit écart de fidélité au prompt.
## Démonstration de l'irrationnalité de $\sqrt{2}$
Soit $x = \sqrt{2}$. On suppose que $x$ est rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme $\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers premiers entre eux.
1. $x^2 = 2 \implies 2q^2 = p^2$.
2. $p^2$ est pair, donc $p$ est pair.
3. $p = 2k$ avec $k$ entier.
4. $2q^2 = (2k)^2 \implies q^2 = 2k^2$.
5. $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
6. $q = 2m$ avec $m$ entier.
Or, $p$ et $q$ sont premiers entre eux, donc $p$ et $q$ ne peuvent être tous deux pairs. D'où une contradiction. Ainsi, l'hypothèse que $x$ est rationnel est fausse, et $\sqrt{2}$ est donc irrationnel.
googlegemini-flash-latest
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10
Rigueur
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Notation
10
Complétude
10
Fidélité
7
Global
8.5
Revue
La démonstration est mathématiquement parfaite, rigoureuse et complète, avec toutes les étapes logiques bien justifiées et une notation LaTeX impeccable. Cependant, la fidélité au prompt est pénalisée : le texte généré dépasse largement les ~120 mots demandés (environ 190 mots), ce qui constitue un écart notable à la contrainte de concision explicitement formulée.
## Irrationalité de $\sqrt{2}$
1. **Hypothèse initiale** : Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ soit rationnel. Il peut alors s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\frac{p}{q}$, où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls et $\text{pgcd}(p, q) = 1$.
2. **Élévation au carré** : L'égalité $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ implique $2 = \frac{p^2}{q^2}$, soit $p^2 = 2q^2$. On en déduit que $p^2$ est pair, ce qui impose que $p$ est lui-même pair.
3. **Substitution** : Posons $p = 2k$. L'équation devient $(2k)^2 = 2q^2$, soit $4k^2 = 2q^2$, ce qui se simplifie en $q^2 = 2k^2$.
4. **Contradiction** : Ainsi, $q^2$ est pair, donc $q$ est pair. Si $p$ et $q$ sont tous deux pairs, la fraction $\frac{p}{q}$ n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ.
5. **Conclusion** : L'hypothèse est fausse ; $\sqrt{2}$ est donc irrationnel.
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7.6/103.8 s
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Exactitude
9
Rigueur
8
Notation
9
Complétude
7
Fidélité
7
Global
7.63
Revue
La preuve est mathématiquement correcte et bien notée en LaTeX, suivant les conventions standards. Cependant, la conclusion explicite (contradiction avec l'hypothèse d'irréductibilité, donc √2 est irrationnel) est absente — la démonstration s'arrête juste avant la conclusion formelle, ce qui nuit à la complétude. En termes de fidélité, le format markdown est respecté (titre ## et étapes numérotées), mais le texte dépasse légèrement 120 mots et manque la conclusion finale qui clôt le raisonnement par l'absurde.
## Démonstration de l'irrationnalité de $\sqrt{2}$
1. Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel. Il existe alors deux entiers naturels non nuls $p$ et $q$ tels que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, avec la fraction $\frac{p}{q}$ irréductible.
2. En élevant au carré, on obtient $2 = \frac{p^2}{q^2}$, soit $p^2 = 2q^2$.
3. Le nombre $p^2$ est pair, donc $p$ est pair. Posons $p = 2k$ avec $k \in \mathbb{N}$.
4. En remplaçant, on a $(2k)^2 = 2q^2$, soit $4k^2 = 2q^2$, ce qui simplifie en $q^2 = 2k^2$.
5. Ainsi, $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
6. Si $p$ et $q$ sont pairs, la fraction $\frac{p}{q}$ n'était pas irréductible
kimimoonshot-v1-128k
7.8/106.8 s
kimimoonshot-v1-128k
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10
Rigueur
10
Notation
8
Complétude
10
Fidélité
6
Global
7.75
Revue
Le raisonnement mathématique est parfaitement rigoureux et exact. Cependant, le modèle échoue sur deux points de fidélité : il laisse une erreur de syntaxe dans l'étape 1 ('a
eq ,') et le formatage LaTeX est légèrement incomplet ou maladroit dans cette même étape. La concision est respectée, mais la présence de cette erreur de frappe dans une démonstration formelle est pénalisante.
## Démonstration par l'absurde de l'irrationalité de $\sqrt{2}$
1. Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ est rationnel. Donc, $\exists a, b \in \mathbb{Z}$, $a \neq $, tels que $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$, avec $\gcd(a, b) = 1$.
2. En élevant au carré, on obtient $2 = \frac{a^2}{b^2}$, donc $a^2 = 2b^2$.
3. Cela implique que $a^2$ est pair, et donc $a$ est pair (puisqu'un nombre impair au carré est impair). Soit $a = 2k$ pour un certain $k \in \mathbb{Z}$.
4. En remplaçons dans $a^2 = 2b^2$, on obtient $(2k)^2 = 2b^2$, soit $4k^2 = 2b^2$, ce qui implique $b^2 = 2k^2$.
5. On voit que $b^2$ est aussi pair, donc $b$ est pair.
6. Cela contredit notre hypothèse initiale que $\gcd(a, b) = 1$ (car $a$ et $b$ seraient tous deux divisibles par 2).
7. Donc, notre supposition que $\sqrt{2}$ est rationnel est fausse, et $\sqrt{2}$ est irrationnel. $\blacksquare$
mistralmistral-large-latest
8.3/104.9 s
mistralmistral-large-latest
Tokens644
Code source847 B
Temps4.9 s
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Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
9
Fidélité
7
Global
8.25
Revue
La démonstration est mathématiquement correcte et rigoureuse, avec toutes les étapes logiques bien justifiées et une notation LaTeX soignée. Cependant, la réponse est tronquée ('$\sqrt{2}$ est ir'), ce qui indique une coupure en milieu de mot, nuisant à la complétude et surtout à la fidélité au prompt. La longueur semble dépasser légèrement les ~120 mots demandés, et la conclusion est incomplète, ce qui constitue un écart notable par rapport aux contraintes explicites.
## Démonstration par l'absurde de l'irrationalité de $\sqrt{2}$
1. **Hypothèse** : Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel. Alors, il existe deux entiers $p$ et $q$ (premiers entre eux) tels que :
$$ \sqrt{2} = \frac{p}{q} $$
2. **Égalité au carré** : En élevant au carré, on obtient :
$$ 2 = \frac{p^2}{q^2} \quad \Rightarrow \quad p^2 = 2q^2 $$
3. **Parité de $p^2$** : $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (car le carré d'un impair est impair). On pose $p = 2k$.
4. **Substitution** : En remplaçant dans l'équation :
$$ (2k)^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad 4k^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad q^2 = 2k^2 $$
5. **Parité de $q$** : $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
6. **Contradiction** : $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse qu'ils sont premiers entre eux.
**Conclusion** : $\sqrt{2}$ est ir
mistralmistral-small-latest
8.0/102.2 s
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Tokens636
Code source814 B
Temps2.2 s
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Exactitude
9
Rigueur
9
Notation
9
Complétude
9
Fidélité
7
Global
8
Revue
La preuve est mathématiquement correcte et rigoureuse, avec toutes les étapes clés bien justifiées et une notation LaTeX propre. Cependant, la réponse est tronquée en plein milieu du mot 'irrationnel' à la conclusion, ce qui indique une coupure du texte généré — cela nuit à la fidélité et à la complétude. Par ailleurs, la longueur (~160 mots) dépasse légèrement les ~120 mots demandés.
## Démonstration par l'absurde de l'irrationalité de $\sqrt{2}$
1. **Hypothèse** : Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel. Alors il existe deux entiers naturels $p$ et $q$ (avec $q \neq 0$) premiers entre eux tels que :
$$
\sqrt{2} = \frac{p}{q}
$$
2. **Élévation au carré** :
$$
2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2
$$
Donc $p^2$ est pair, et par conséquent $p$ est pair (un carré impair est impair).
3. **Substitution** : Posons $p = 2k$ ($k \in \mathbb{N}$). Alors :
$$
(2k)^2 = 2q^2 \implies 4k^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2k^2
$$
Donc $q^2$ est pair, et $q$ est pair.
4. **Contradiction** : $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse qu'ils sont premiers entre eux.
**Conclusion** : $\sqrt{2}$ ne peut pas être rationnel, donc il est irration
mistralmistral-tiny-latest
7.0/103.7 s
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Tokens693
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Temps3.7 s
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Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
8
Complétude
9
Fidélité
5
Global
7
Revue
La preuve est mathématiquement correcte et rigoureuse, couvrant toutes les étapes nécessaires. Cependant, la fidélité au prompt souffre de plusieurs problèmes : le titre est littéralement '## Titre' au lieu d'un vrai titre descriptif, et le texte est trop long (~160 mots au lieu de ~120), avec un préambule ('Soit x = √2. Nous allons démontrer...') explicitement interdit. La notation LaTeX est correcte mais basique.
## Titre
Soit $x = \sqrt{2}$. Nous allons démontrer que $x$ est irrationnel en montrant que $x$ ne peut pas être un nombre rationnel.
1. Supposons que $x$ est rationnel. Alors il existe deux entiers $p$ et $q$ tels que $x = \frac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ sans diviseurs communs autres que 1.
2. En élevant les deux côtés de l'équation au carré, nous obtenons $2 = \frac{p^2}{q^2}$, ce qui implique que $p^2 = 2q^2$.
3. Cela signifie que $p^2$ est pair, donc $p$ est pair. Soit $p = 2r$ pour un certain entier $r$.
4. En remplaçant $p$ par $2r$ dans l'équation $p^2 = 2q^2$, nous avons $(2r)^2 = 2q^2$, ce qui simplifie en $4r^2 = 2q^2$.
5. En divisant les deux côtés par 2, nous obtenons $2r^2 = q^2$, ce qui implique que $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
6. Cela contredit notre hypothèse selon laquelle $p$ et $q$ n'ont pas de diviseurs communs autres que 1, car $p$ et $q$ sont tous deux pairs.
7. Par conséquent, notre hypothèse de départ selon laquelle $x$ est rationnel est fausse, et donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.
openaigpt-4o-mini
7.8/105.0 s
openaigpt-4o-mini
Tokens618
Code source742 B
Temps5.0 s
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Exactitude
9
Rigueur
9
Notation
7
Complétude
9
Fidélité
7
Global
7.75
Revue
La démonstration est mathématiquement correcte et rigoureuse, couvrant toutes les étapes clés de la preuve par l'absurde. Cependant, il y a une faute de notation LaTeX notable : '$q \neq $' est incomplet (manque le '0'), ce qui nuit à la qualité de la notation. Concernant la fidélité au prompt, le titre est trop long (non concis), et le texte dépasse légèrement les ~120 mots demandés, mais le format markdown avec étapes numérotées est bien respecté.
## Démonstration par l'absurde de l'irrationalité de $\sqrt{2}$
1. Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel. Alors, on peut l'écrire sous la forme $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ entiers, $\text{pgcd}(p, q) = 1$, et $q \neq $.
2. En élevant chaque côté au carré, nous obtenons $2 = \frac{p^2}{q^2}$ ou $p^2 = 2q^2$.
3. Cela implique que $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (si $p$ est impair, $p^2$ est impair).
4. Posons $p = 2k$ pour un certain entier $k$. Alors, $p^2 = 4k^2$. Substituons dans $p^2 = 2q^2$ : $4k^2 = 2q^2$, donc $q^2 = 2k^2$, ce qui implique que $q$ est pair.
5. Ainsi, $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse que $\text{pgcd}(p, q) = 1$.
Conclusion : $\sqrt{2}$ est irrationnel.
openaigpt-5.4-nano
9.8/102.5 s
openaigpt-5.4-nano
Tokens587
Code source617 B
Temps2.5 s
Jugement Matania
Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
9
Complétude
10
Fidélité
10
Global
9.75
Revue
La preuve est mathématiquement correcte et complète, couvrant toutes les étapes essentielles sans saut logique. La notation LaTeX est bien utilisée et les formules sont lisibles. Le format markdown respecte exactement les consignes (titre avec ##, étapes numérotées, pas de préambule) et la longueur est appropriée (~120 mots).
## Irrationalité de $\sqrt{2}$ (par l’absurde)
1. Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel. Alors il existe des entiers $p,q\in\mathbb{N}$, premiers entre eux, tels que $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$.
2. En élevant au carré : $2=\dfrac{p^{2}}{q^{2}}$, donc $p^{2}=2q^{2}$.
3. Ainsi $p^{2}$ est pair, donc $p$ est pair. Écrivons $p=2k$.
4. En remplaçant : $(2k)^{2}=2q^{2}$, soit $4k^{2}=2q^{2}$, donc $q^{2}=2k^{2}$.
5. Alors $q^{2}$ est pair, donc $q$ est pair.
6. On obtient que $p$ et $q$ sont tous deux pairs, contradiction avec l’hypothèse « premiers entre eux ».
7. Conclusion : $\sqrt{2}$ est irrationnel.
openaigpt-5.5
10.0/105.9 s
openaigpt-5.5
Tokens593
Code source641 B
Temps5.9 s
Jugement Matania
Exactitude
10
Rigueur
10
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
10
Revue
La démonstration est mathématiquement parfaite et respecte scrupuleusement toutes les contraintes du prompt. Le format Markdown est correct, la notation LaTeX est impeccable, et la longueur est idéale (environ 110 mots), respectant la consigne de concision sans sacrifier la rigueur.
## Irrationalité de $\sqrt{2}$
1. Supposons par l’absurde que $\sqrt{2}$ soit rationnel. Alors il existe deux entiers $p$ et $q$, premiers entre eux, avec $q \neq 0$, tels que
$$\sqrt{2}=\frac{p}{q}.$$
2. En élevant au carré :
$$2=\frac{p^2}{q^2}, \quad \text{donc} \quad p^2=2q^2.$$
3. Ainsi, $p^2$ est pair, donc $p$ est pair. Écrivons $p=2k$ pour un entier $k$.
4. En remplaçant :
$$4k^2=2q^2,$$
donc
$$q^2=2k^2.$$
5. Donc $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
6. Ainsi, $p$ et $q$ sont tous deux pairs, contradiction avec le fait qu’ils soient premiers entre eux.
7. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.
openaigpt-5.5-pro
10.0/1018.0 s
openaigpt-5.5-pro
Tokens588
Code source622 B
Temps18.0 s
Jugement Matania
Exactitude
10
Rigueur
10
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
10
Revue
La démonstration est mathématiquement parfaite et d'une grande rigueur. Toutes les contraintes du prompt sont respectées : le format Markdown est correct, l'utilisation de LaTeX est impeccable, et la longueur est parfaitement calibrée pour être concise tout en étant complète.
## Irrationalité de $\sqrt{2}$
1. Supposons, par l’absurde, que $\sqrt{2}$ soit rationnel. Alors il existe deux entiers $p$ et $q \ne 0$, premiers entre eux, tels que $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$.
2. En élevant au carré :
$$2=\frac{p^2}{q^2},\quad \text{donc}\quad p^2=2q^2.$$
Ainsi $p^2$ est pair, donc $p$ est pair.
3. Écrivons $p=2k$. Alors :
$$p^2=4k^2=2q^2,$$
donc $q^2=2k^2$. Ainsi $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
4. Les entiers $p$ et $q$ sont donc tous deux pairs, contradiction avec le fait qu’ils soient premiers entre eux.
5. Donc l’hypothèse est fausse : $\sqrt{2}$ est irrationnel.
productiviamatania-latest
10.0/102.8 s
productiviamatania-latest
Tokens673
Code source961 B
Temps2.8 s
Jugement Matania
Exactitude
10
Rigueur
10
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
10
Revue
La démonstration est mathématiquement irréprochable, rigoureuse et complète. Le modèle respecte scrupuleusement toutes les contraintes de formatage (Markdown, LaTeX), de structure (titre, étapes numérotées) et de concision demandées. La longueur est idéale et aucun préambule n'a été inclus.
## Démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$
1. **Hypothèse de départ** : Supposons que $\sqrt{2}$ est rationnel. Il existe alors deux entiers $p$ et $q$ tels que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, avec $q \neq 0$ et la fraction $\frac{p}{q}$ étant irréductible (ils n'ont aucun facteur commun autre que $1$).
2. **Élévation au carré** : En élevant l'égalité au carré, nous obtenons $2 = \frac{p^2}{q^2}$, soit $p^2 = 2q^2$.
3. **Parité de $p$** : Puisque $p^2$ est un multiple de $2$, $p^2$ est pair, ce qui implique que $p$ est également pair. On peut donc écrire $p = 2k$ (où $k \in \mathbb{Z}$).
4. **Parité de $q$** : En remplaçant $p$ par $2k$, on obtient $(2k)^2 = 2q^2$, soit $4k^2 = 2q^2$, d'où $q^2 = 2k^2$. Ainsi, $q^2$ est pair, et $q$ est donc pair.
5. **Contradiction** : Si $p$ et $q$ sont tous deux pairs, la fraction $\frac{p}{q}$ n'est pas irréductible. L'hypothèse initiale est fausse ; $\sqrt{2}$ est donc irrationnel.
xaigrok-4-1-fast-non-reasoning
9.1/102.3 s
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Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
8
Complétude
10
Fidélité
9
Global
9.13
Revue
La preuve est mathématiquement correcte et complète, couvrant toutes les étapes logiques sans saut. La notation LaTeX est globalement bonne, mais 'pgcd' devrait idéalement être formaté en LaTeX comme '\gcd' ou '\pgcd' (macro custom) plutôt qu'en texte brut. Le format markdown respecte bien les exigences (titre H2, étapes numérotées, pas de préambule), et la longueur est conforme (~120 mots).
## Preuve par l'absurde de l'irrationalité de $\sqrt{2}$
1. Supposons $\sqrt{2}$ rationnel : $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p, q \in \mathbb{Z}^+$, $pgcd(p, q) = 1$.
2. Alors $p^2 = 2 q^2$, donc $p^2$ pair, d'où $p$ pair : $p = 2 k$, $k \in \mathbb{Z}$.
3. Substituons : $(2 k)^2 = 2 q^2 \implies 4 k^2 = 2 q^2 \implies q^2 = 2 k^2$, donc $q^2$ pair, $q$ pair.
4. Contradiction : $p$ et $q$ pairs contredit $pgcd(p, q) = 1$.
5. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.
xaigrok-4-1-fast-reasoning
8.1/106.4 s
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Tokens574
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Exactitude
9
Rigueur
8
Notation
7
Complétude
9
Fidélité
8
Global
8.13
Revue
La preuve est mathématiquement correcte et suit la structure classique avec toutes les étapes clés présentes. Il y a une petite erreur de LaTeX à l'étape 1 ('$q \neq $' au lieu de '$q \neq 0$'), ce qui nuit à la notation. Le format markdown est respecté (titre ## + étapes numérotées, LaTeX utilisé), la longueur est conforme (~120 mots), et l'absence de préambule est respectée.
## Démonstration par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel
1. Supposons, pour l'absurde, que $\sqrt{2}$ soit rationnel : $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, où $p$ et $q$ sont des entiers premiers entre eux ($q \neq $).
2. Au carré : $2 = \frac{p^2}{q^2}$, donc $p^2 = 2 q^2$.
3. $p^2$ est pair, donc $p$ est pair : $p = 2k$ pour un entier $k$.
4. $(2k)^2 = 2 q^2$ ⇒ $4 k^2 = 2 q^2$ ⇒ $q^2 = 2 k^2$.
5. $q^2$ est pair, donc $q$ est pair.
6. Contradiction : $p$ et $q$ ne peuvent être tous deux pairs si premiers entre eux.
Ainsi, $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Combinatoire
text
anthropicclaude-haiku-4-5-20251001
10.0/103.0 s
anthropicclaude-haiku-4-5-20251001
Tokens891
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Exactitude
10
Rigueur
10
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
10
Revue
Le modèle a parfaitement respecté toutes les consignes. Le raisonnement mathématique est irréprochable (utilisation correcte de la division par $n!$ pour compenser l'ordre des paires), la notation LaTeX est impeccable et le format Markdown est strictement conforme au prompt. La longueur est également idéale, respectant la contrainte de concision.
Le résultat (10 395) est correct et les deux approches (double factorielle et formule générale) sont parfaitement justifiées avec une notation LaTeX irréprochable. La réponse respecte très bien le format demandé (titre ##, étapes numérotées, conclusion en gras), mais dépasse légèrement la contrainte de ~100 mots — ce léger écart justifie une petite pénalité sur la fidélité.
## Nombre d'appariements possibles de 12 joueurs
1. On doit répartir 12 joueurs en 6 paires non ordonnées.
2. Le premier joueur peut être apparié avec 11 autres, le suivant avec 9, puis 7, 5, 3 et enfin 1 :
$$11 \times 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 11!! = 10\,395$$
3. On retrouve ce résultat par la formule générale pour $2n$ joueurs :
$$\frac{(2n)!}{2^n \, n!} = \frac{12!}{2^6 \times 6!} = \frac{479\,001\,600}{64 \times 720} = 10\,395$$
**Résultat : il existe 10 395 appariements possibles.**
anthropicclaude-opus-4-7
9.8/104.5 s
anthropicclaude-opus-4-7
Tokens1 031
Code source536 B
Temps4.5 s
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Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
9
Fidélité
10
Global
9.75
Revue
Le résultat est mathématiquement exact (10395 = 11!! = 12!/(2^6·6!)) et la démarche est rigoureuse avec une justification claire du double comptage implicite. La notation LaTeX est correcte et lisible, le format markdown respecte scrupuleusement les consignes (titre H2, étapes numérotées, conclusion en gras). La longueur est bien dans la cible des ~100 mots.
## Appariement de 12 joueurs en 6 paires
1. On choisit un partenaire pour le premier joueur : $11$ possibilités.
2. Parmi les 10 restants, on choisit un partenaire pour le suivant : $9$ possibilités.
3. On poursuit ainsi : $7$, puis $5$, puis $3$, puis $1$.
4. Le nombre d'appariements est donc :
$$11 \times 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 = \frac{12!}{2^6 \cdot 6!}$$
5. Calcul : $11 \times 9 = 99$, $99 \times 7 = 693$, $693 \times 5 = 3\,465$, $3\,465 \times 3 = 10\,395$.
**Résultat : $10\,395$ appariements possibles.**
anthropicclaude-sonnet-4-6
9.3/105.2 s
anthropicclaude-sonnet-4-6
Tokens794
Code source572 B
Temps5.2 s
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Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
9
Fidélité
9
Global
9.25
Revue
Le résultat 10 395 est mathématiquement correct, et le raisonnement en 5 étapes est clair et bien justifié (division par 2^6 pour l'ordre interne des paires, par 6! pour l'ordre des paires). La notation LaTeX est propre et lisible. Le format markdown respecte bien le titre avec `##`, les étapes numérotées et la conclusion en gras. La longueur est légèrement en dessous de 100 mots mais reste dans l'esprit 'concis' demandé — la contrainte de format est globalement bien respectée.
## Nombre d'appariements de 12 joueurs en 6 paires
1. On dispose de 12 joueurs à répartir en 6 paires **non ordonnées** et dont l'ordre des paires n'a pas d'importance.
2. On commence par compter les façons d'ordonner 12 joueurs : $12!$
3. Au sein de chaque paire, l'ordre est indifférent : on divise par $2^6$.
4. L'ordre des 6 paires elles-mêmes est indifférent : on divise par $6!$
5. Le nombre d'appariements est donc :
$$\frac{12!}{2^6 \times 6!} = \frac{479\,001\,600}{64 \times 720} = 10\,395$$
**Résultat : il existe 10 395 appariements possibles.**
coherecommand-r-08-2024
3.4/1019.5 s
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Tokens670
Code source884 B
Temps19.5 s
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Exactitude
1
Rigueur
1
Notation
3
Complétude
2
Fidélité
5
Global
3.38
Revue
La réponse est mathématiquement incorrecte : le bon résultat est 10395 (calculé par la formule 12!/(2^6 × 6!) = 10395), or le modèle aboutit à 336 via un raisonnement incohérent et truffé d'erreurs (étapes 2-4 incompréhensibles, produit 12×1×8×6×4×2 incorrect, puis la formule finale 12!/(6!×6!) correspond aux combinaisons C(12,6) = 924, pas aux appariements). Le raisonnement manque de rigueur : il faut diviser par 2^6 pour tenir compte du fait que l'ordre au sein de chaque paire n'a pas d'importance, et par 6! pour l'ordre des paires. La notation LaTeX est partiellement correcte mais les calculs affichés sont faux. Le format markdown est globalement respecté (titre, étapes numérotées, **Résultat** en gras) mais la longueur dépasse légèrement et la structure est confuse.
## Nombre d'appariements possibles dans un tournoi de 12 joueurs
Pour déterminer le nombre d'appariements possibles, nous pouvons raisonner ainsi :
1. Il y a $12$ joueurs, donc $\frac{12}{2} = 6$ paires possibles.
2. Pour former la première paire, nous avons $12$ choix.
3. Pour la deuxième paire, il reste $1$ joueurs, donc $1$ choix.
4. Ce raisonnement se poursuit jusqu'à former les $6$ paires.
5. Le nombre de façons de former les paires est donc $12 \times 1 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 12! \div 6! = \frac{12!}{6! \times 6!}$.
**Résultat** : Il y a $\frac{12!}{6! \times 6!} = \frac{12 \times 11 \times 1 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{12 \times 11 \times 5 \times 4 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{12 \times 11 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{336}$ appariements possibles.
googlegemini-flash-latest
9.3/1011.0 s
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Tokens703
Code source751 B
Temps11.0 s
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Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
9
Fidélité
9
Global
9.25
Revue
Le résultat est mathématiquement correct (10 395) et le raisonnement est rigoureux, présentant à la fois la méthode inductive et la formule générale. La notation LaTeX est propre et lisible. Le format markdown respecte bien les consignes (titre avec ##, étapes numérotées, conclusion en gras), et la longueur est dans la cible (~100 mots). Légère pénalité sur la fidélité car la conclusion en gras devrait idéalement être étiquetée '**Résultat**' seul (sans les deux points et la valeur intégrée), mais c'est une interprétation très proche du format demandé.
## Dénombrement des appariements
1. On isole un premier joueur arbitraire : il peut être associé à 11 partenaires potentiels parmi les joueurs restants.
2. Pour former la deuxième paire, on choisit un joueur parmi les 10 restants : il dispose alors de 9 choix de partenaires.
3. Le processus se poursuit ainsi pour les paires suivantes, avec successivement 7, 5, 3, puis 1 seule possibilité pour le dernier duo.
4. Le nombre total d'appariements uniques est le produit de ces choix successifs :
$$11 \times 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 10\,395$$
Ce calcul correspond à la formule générale pour $2n$ éléments répartis en $n$ paires :
$$\frac{(2n)!}{2^n \times n!} = \frac{12!}{2^6 \times 6!} = 10\,395$$
**Résultat : 10 395**
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9.1/102.9 s
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Tokens718
Code source659 B
Temps2.9 s
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Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
9
Complétude
9
Fidélité
9
Global
9.13
Revue
Le résultat final (10 395) est mathématiquement correct et la formule $\frac{12!}{2^6 \times 6!}$ est bien justifiée. Le raisonnement est rigoureux et complet, avec des étapes clairement numérotées et une explication de pourquoi on divise par $6!$. Le format markdown respecte bien les exigences (titre avec `##`, étapes numérotées, conclusion en gras), la notation LaTeX est correcte et lisible. La longueur est légèrement concise mais dans les normes des ~100 mots demandés.
## Dénombrement des appariements
Pour former des paires à partir de 12 joueurs, le calcul s'effectue par étapes :
1. Choisir 2 joueurs parmi 12 pour la première paire : $\binom{12}{2}$.
2. Choisir 2 joueurs parmi les 10 restants pour la deuxième : $\binom{10}{2}$.
3. Continuer jusqu'à la dernière paire : $\binom{2}{2}$.
4. Le nombre total de combinaisons ordonnées est le produit : $\prod_{k=0}^{5} \binom{12-2k}{2} = \frac{12!}{2^6}$.
5. Comme l'ordre des 6 paires n'importe pas, nous divisons par $6!$ :
$$\frac{12!}{2^6 \times 6!} = \frac{479 001 600}{64 \times 720} = 10 395$$
**Résultat : Il existe 10 395 appariements possibles.**
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7.4/105.6 s
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Code source899 B
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Exactitude
2
Rigueur
3
Notation
10
Complétude
4
Fidélité
10
Global
7.38
Revue
Le modèle a commis une erreur mathématique fondamentale de combinatoire : il a calculé le nombre de paires possibles parmi 12 joueurs (12C2), alors que la question demandait le nombre d'appariements complets pour un tournoi (le nombre de partitions de l'ensemble en 6 paires, soit 11!! = 10 395). Le format, la notation LaTeX et le respect des contraintes de style sont parfaits, mais le raisonnement est erroné pour le problème posé.
## Calcul du nombre d'appariements possibles dans un tournoi
1. **Choix du premier joueur** : Il y a 12 joueurs, donc 12 choix pour le premier joueur.
2. **Choix du second joueur** : Après avoir choisi le premier joueur, il reste 11 joueurs disponibles pour être son adversaire.
3. **Calcul des paires** : Le nombre total d'appariements est le produit des choix disponibles, c'est-à-dire \( 12 \times 11 \).
Cependant, chaque paire est comptée deux fois (par exemple, un match entre joueur 1 et joueur 2 est la même chose qu'un match entre joueur 2 et joueur 1). Donc, il faut diviser le résultat par 2 pour obtenir le nombre de paires uniques.
\[ \text{Nombre d'appariements} = \frac{12 \times 11}{2} \]
\[ \text{Nombre d'appariements} = \frac{132}{2} \]
\[ \text{Nombre d'appariements} = 66 \]
**Résultat** : Il y a \(\boxed{66}\) appariements possibles dans un tournoi de 12 joueurs.
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9.1/105.6 s
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Tokens624
Code source706 B
Temps5.6 s
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Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
9
Complétude
9
Fidélité
9
Global
9.13
Revue
Le résultat 10 395 est mathématiquement correct, correspondant à 12!/(2^6 × 6!). Le raisonnement est rigoureux et bien structuré en étapes numérotées avec justification de la division par 6!. Le format markdown est respecté avec le titre ##, les étapes numérotées et la conclusion en gras **Résultat**, et la notation LaTeX est correcte et lisible. La longueur est légèrement concise mais conforme (~100 mots), avec une légère imprécision sur le terme 'non ordonnées' qui aurait pu être mieux expliqué.
## Nombre d'appariements possibles pour 12 joueurs
1. **Ordre des paires** : On divise les 12 joueurs en 6 paires non ordonnées. Le nombre de façons de choisir la première paire est $\binom{12}{2}$, la deuxième $\binom{10}{2}$, etc., jusqu'à $\binom{2}{2}$.
2. **Correction de l'ordre** : Comme l'ordre des paires n'importe pas, on divise par $6!$ (le nombre de permutations des 6 paires).
$$
\text{Nombre d'appariements} = \frac{\binom{12}{2} \times \binom{10}{2} \times \binom{8}{2} \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2}}{6!}
$$
3. **Simplification** : La formule se réduit à $\frac{12!}{2^6 \times 6!}$.
**Résultat** : Il y a **10 395** appariements possibles.
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8.1/102.2 s
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Tokens577
Code source515 B
Temps2.2 s
Jugement Matania
Exactitude
10
Rigueur
7
Notation
9
Complétude
7
Fidélité
8
Global
8.13
Revue
Le résultat final 10395 est correct (12!/(2^6 × 6!) = 10395), mais le texte affiche '1 395' au lieu de '10 395', ce qui est une erreur numérique dans la conclusion — toutefois la formule est juste. Le raisonnement est globalement correct mais l'étape 3 explique mal pourquoi on divise par 2^6 (elle mentionne l'indistinction des paires mais confond avec l'ordre interne des paires), et l'étape 1-2 ne suffit pas à justifier complètement la construction. Le format markdown est respecté (titre ##, étapes numérotées, **Résultat** en gras, LaTeX), et la longueur est approximativement conforme (~100 mots).
## Nombre d'appariements possibles pour 12 joueurs
1. **Choix du premier joueur** : 12 options.
2. **Choix de son partenaire** : 11 options restantes.
3. **Ordre des paires** : les paires sont indistinctes (ex. (A-B, C-D) ≡ (C-D, A-B)), donc on divise par le nombre de permutations des paires : $2^{6}$ (car 6 paires).
4. **Formule** :
$$
\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times \dots \times 1}{2^6 \times 6!} = \frac{12!}{2^6 \times 6!}
$$
**Résultat** : **Il y a 1 395 appariements possibles.**
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4.4/102.7 s
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Tokens636
Code source755 B
Temps2.7 s
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Exactitude
1
Rigueur
2
Notation
6
Complétude
2
Fidélité
6
Global
4.38
Revue
Le résultat est mathématiquement incorrect : le problème demande le nombre d'appariements complets de 12 joueurs en 6 paires, soit 10395 (= 11!! = 11×9×7×5×3×1), et non simplement C(12,2)=66 qui ne compte qu'une seule paire. Le raisonnement est donc fondamentalement erroné, confondant le choix d'une paire avec un appariement complet. La notation LaTeX est correcte bien que 'binomialaire' et 'facteurielle' soient des fautes de langue. Le format markdown respecte le titre et la conclusion en gras, mais l'absence du résultat correct pénalise l'ensemble.
## Appariements possibles pour un tournoi de 12 joueurs
1. Pour appairer les joueurs, nous devons choisir 2 joueurs parmi les 12 disponibles. Le nombre de façons de choisir 2 joueurs parmi 12 est donné par la combinaison binomialaire, notée $\binom{12}{2}$.
2. La formule pour calculer une combinaison binomialaire est $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, où $n$ est le nombre total d'éléments, $k$ le nombre d'éléments à choisir, et $!$ représente le facteurielle.
3. En appliquant cette formule, nous avons $\binom{12}{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.
4. Ainsi, il y a 66 appariements possibles pour un tournoi de 12 joueurs.
**Résultat** : Il y a 66 appariements possibles pour un tournoi de 12 joueurs.
openaigpt-4o-mini
8.3/103.5 s
openaigpt-4o-mini
Tokens570
Code source488 B
Temps3.5 s
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Exactitude
10
Rigueur
8
Notation
9
Complétude
7
Fidélité
8
Global
8.25
Revue
Le résultat final de 10395 est mathématiquement correct. Le raisonnement est globalement solide mais manque d'une explication intermédiaire explicitant pourquoi on divise par 2^k * k! (non-distinction de l'ordre dans les paires et non-distinction de l'ordre des paires entre elles). La notation LaTeX est propre et lisible. Concernant la fidélité, le format markdown est respecté (titre ##, étapes numérotées, conclusion en gras **Résultat**), mais la longueur est un peu courte par rapport aux ~100 mots demandés.
## Calcul des appariements
1. Le nombre total de joueurs est 12.
2. Lorsque les joueurs sont appariés, chaque paire choisie réduit le nombre de joueurs restants de 2.
3. Le nombre de façons d'apparier 12 joueurs est donné par la formule :
$$
A(n) = \frac{n!}{(2^k) \cdot k!}
$$
où \( n = 12 \) et \( k = \frac{n}{2} = 6 \).
4. Donc, le nombre d'appariements est :
$$
A(12) = \frac{12!}{2^6 \cdot 6!} = 10395.
$$
**Résultat :** 10 395 appariements possibles.
openaigpt-5.4-nano
8.9/102.7 s
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Tokens617
Code source676 B
Temps2.7 s
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Exactitude
10
Rigueur
8
Notation
9
Complétude
8
Fidélité
9
Global
8.88
Revue
Le résultat final 10 395 est correct et la formule 12!/(2^6 · 6!) est exacte. Le raisonnement est bien structuré avec des étapes numérotées, une explication du surcomptage claire, bien que l'étape 2 soit légèrement redondante. Le format markdown est respecté (titre ##, étapes numérotées, conclusion en gras, LaTeX), et la longueur est dans les ~100 mots demandés.
## Nombre d’appariements possibles
1. On forme les paires en choisissant successivement des joueurs : il y a $12$ joueurs pour le premier, donc $11$ choix pour son partenaire, soit $12 \times 11$ pour commencer.
2. En continuant ainsi, on obtient un produit $12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$, mais on a surcompté.
3. La surcomptage vient du fait que l’ordre dans chaque paire ne compte pas (division par $2^{6}$) et l’ordre des paires non plus (équivalent à diviser par $6!$).
4. Donc le nombre d’appariements est :
$$\frac{12!}{2^6\,6!}.$$
**Résultat** : $\dfrac{12!}{2^6\,6!}=10\,395$.
openaigpt-5.5
10.0/105.7 s
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Tokens584
Code source544 B
Temps5.7 s
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Exactitude
10
Rigueur
10
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
10
Revue
Le modèle respecte parfaitement toutes les consignes. Le raisonnement mathématique est irréprochable, la notation LaTeX est correctement appliquée et le formatage Markdown est conforme au prompt. La longueur est concise et respecte la contrainte d'environ 100 mots.
## Appariements de 12 joueurs
1. On considère que les 12 joueurs sont distincts. Pour former 6 paires, on pourrait d’abord ordonner les joueurs de toutes les façons possibles :
$$
12!
$$
2. Mais, dans chaque paire, l’ordre des deux joueurs ne compte pas : on divise donc par $2^6$.
3. De plus, l’ordre des 6 paires ne compte pas non plus : on divise par $6!$.
4. Le nombre d’appariements possibles est donc :
$$
\frac{12!}{2^6 \times 6!} = 10\,395
$$
**Résultat** : il y a $10\,395$ appariements possibles.
openaigpt-5.5-pro
10.0/1036.7 s
openaigpt-5.5-pro
Tokens581
Code source533 B
Temps36.7 s
Jugement Matania
Exactitude
10
Rigueur
10
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
10
Revue
Le modèle a parfaitement respecté toutes les contraintes du prompt. Le raisonnement mathématique est rigoureux et exact, la notation LaTeX est impeccable, et le formatage markdown (titre, étapes, conclusion en gras) est strictement conforme aux instructions. La longueur est concise et optimale.
## Nombre d’appariements possibles
1. Les 12 joueurs sont distincts. On veut former 6 paires, sans ordre entre les paires ni dans chaque paire.
2. On peut d’abord ordonner les 12 joueurs de toutes les façons :
$$12!$$
3. Dans chaque paire, l’ordre des 2 joueurs ne compte pas : on divise par $2^6$.
4. L’ordre des 6 paires ne compte pas non plus : on divise par $6!$.
5. Donc :
$$\frac{12!}{2^6 \times 6!}=11\times9\times7\times5\times3\times1=10\,395$$
**Résultat** : il y a $10\,395$ appariements possibles.
productiviamatania-latest
10.0/102.5 s
productiviamatania-latest
Tokens677
Code source917 B
Temps2.5 s
Jugement Matania
Exactitude
10
Rigueur
10
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
10
Revue
Le modèle a parfaitement respecté toutes les contraintes. Le raisonnement mathématique est rigoureux et exact (utilisation correcte de la division par n! pour les ensembles non ordonnés), la notation LaTeX est impeccable, et le formatage respecte scrupuleusement les directives de structure et de longueur demandées.
## Calcul des appariements possibles
Pour déterminer le nombre de façons de diviser 12 joueurs en 6 paires distinctes, on suit ce raisonnement :
1. **Sélection des paires par étapes** : On choisit d'abord 2 joueurs parmi 12, puis 2 parmi les 10 restants, et ainsi de suite jusqu'à la dernière paire. Cela correspond au produit des combinaisons :
$$\binom{12}{2} \times \binom{10}{2} \times \binom{8}{2} \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2}$$
2. **Correction de l'ordre des paires** : Comme l'ordre dans lequel les paires sont formées n'importe pas (la paire $\{A, B\}$ puis $\{C, D\}$ est identique à $\{C, D\}$ puis $\{A, B\}$), il faut diviser par le nombre de permutations des 6 paires, soit $6!$.
Le calcul est le suivant :
$$\frac{66 \times 45 \times 28 \times 15 \times 6 \times 1}{720} = \frac{7\,484\,400}{720} = 10\,395$$
**Résultat : 10 395 appariements possibles**
xaigrok-4-1-fast-non-reasoning
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xaigrok-4-1-fast-non-reasoning
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Exactitude
10
Rigueur
8
Notation
10
Complétude
9
Fidélité
10
Global
9.63
Revue
Le résultat mathématique est exact et la notation LaTeX est parfaitement appliquée. Le raisonnement est solide, bien que l'étape 4 introduise une confusion de rédaction (le modèle mélange le calcul par produit de choix impairs et la division par les permutations), mais cela reste mathématiquement cohérent. Toutes les contraintes de formatage et de longueur sont respectées.
## Nombre d'appariements possibles pour 12 joueurs
1. **Choisir un partenaire pour le premier joueur** : 11 choix possibles (parmi les 11 autres).
2. **Choisir un partenaire pour le joueur suivant non apparié** : 9 choix (car 2 joueurs déjà appariés).
3. **Poursuivre** : puis 7, 5, 3, 1 choix. Produit : $11 \times 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 11!!$ (double factorielle).
4. **Correction pour les permutations internes** : chaque appariement complet est compté $(2!)^6$ fois (ordre des paires) et $6!$ fois (ordre des paires entre elles). Diviser par $(2^6 \times 6!)$.
Formule générale pour $2n$ joueurs : $\frac{(2n)!}{2^n n!}$.
**Résultat** : $\dfrac{12!}{2^6 \times 6!} = 10\,395$.
xaigrok-4-1-fast-reasoning
9.3/104.6 s
xaigrok-4-1-fast-reasoning
Tokens545
Code source388 B
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Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
9
Fidélité
9
Global
9.25
Revue
Le résultat 10 395 est mathématiquement correct et la formule est bien justifiée en trois étapes logiques claires. La notation LaTeX est propre et lisible, avec un calcul numérique explicite. Le format markdown respecte les consignes (titre `##`, étapes numérotées, conclusion en gras), mais la longueur est légèrement inférieure à ~100 mots (environ 70 mots), ce qui constitue un petit écart à la contrainte de longueur.
## Nombre d'appariements possibles
1. Le nombre total de permutations des 12 joueurs est $12!$.
2. Pour chaque appariement, l'ordre au sein de chaque paire ne compte pas : diviser par $2^6$ (6 paires).
3. L'ordre des paires entre elles ne compte pas : diviser par $6!$.
4. Formule : $$\frac{12!}{2^6 \cdot 6!} = \frac{479\,001\,600}{64 \times 720} = 10\,395.$$
**Résultat : 10 395**
Géométrie avancée
text
anthropicclaude-haiku-4-5-20251001
9.9/103.1 s
anthropicclaude-haiku-4-5-20251001
Tokens1 013
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Temps3.1 s
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Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
9.88
Revue
Le modèle a parfaitement respecté toutes les consignes. Les calculs mathématiques sont exacts, la notation LaTeX est impeccable et le format Markdown est conforme. La concision est idéale, respectant la limite de mots tout en fournissant les formules demandées.
Les calculs sont essentiellement corrects : aire=84, r=4, R=65/8, et les trois médianes sont bien calculées avec la bonne formule. La notation LaTeX est propre et lisible. La structure markdown respecte le format demandé avec titre ##, liste à puces et une sous-section ### pour les médianes, légèrement en excès par rapport au format 'liste à puces' pur demandé mais acceptable. La longueur est légèrement supérieure à ~120 mots mais reste concise. On note que √(2×196+2×225-169) = √(392+450-169) = √673 est correct, et 2√37 ≈ 12,17 est juste (√592 = √(4×148) = 2√148, non 2√37 — c'est une légère erreur : √148 ≠ √37). Cette imprécision mineure affecte légèrement correctness et rigor.
Les valeurs principales (aire=84, r=4, R=65/8) sont correctes. Cependant, la médiane m_b est mal simplifiée : (1/2)√(450+338-196) = (1/2)√592 = √148 ≈ 12,17, pas √148,5 — il y a une erreur de calcul intermédiaire (338 au lieu de 338 pour 2×169=338, et 2×225=450, 450+338-196=592, donc (1/2)√592 = √148 ≈ 12,166). La notation LaTeX est globalement propre et lisible, la formule de Héron est bien explicitée. Le format markdown est respecté (## titre, liste à puces, LaTeX), la longueur est concise et conforme aux ~120 mots demandés.
Les résultats principaux (aire=84, r=4, R=65/8) sont corrects. Cependant, la médiane m_{13} est mal simplifiée : √648 = 6√18 = 18√2, donc m_{13} = 9√2 ≈ 12,73, mais l'écriture '9√8/2' est fausse (9√8/2 = 9·2√2/2 = 9√2, numériquement juste mais mal écrite). Pour m_{15}: 2(169)+2(196)-225 = 338+392-225 = 505, pas 453 — c'est une erreur de calcul (453 correspond à 2·169+2·196-225 = 505, non 453). La notation LaTeX est globalement bonne avec quelques redondances. Le format markdown est respecté (titre ##, liste à puces, LaTeX), et la longueur est raisonnable (~120 mots).
Les valeurs numériques sont massivement incorrectes : l'aire réelle est 84 (via Héron avec s=21), non ~81,87 ; la formule de l'aire utilisée (½·13·14·sin(6°)) est fausse et incohérente. Le périmètre est 42 mais le demi-périmètre s=21 doit être utilisé pour r=Aire/s=4, non ~3,27. Le rayon circonscrit est 65/8=8,125, non ~5,9. Les médianes sont complètement erronées (elles ne valent pas 2/3 du côté correspondant) : les valeurs correctes sont m_a≈13,0, m_b≈12,0, m_c≈7,5 via la formule de la médiane. La notation LaTeX est partiellement correcte mais les formules elles-mêmes sont fausses. Le format markdown avec titre et liste à puces est respecté mais la longueur et la structure sont approximativement conformes.
Les valeurs mathématiques sont quasi-toutes correctes : aire=84, r=4, R=65/8≈8,125, et les trois médianes sont exactes (m_a=√673/2≈12,97, m_b=2√37≈12,17, m_c=√505/2≈11,24). La notation LaTeX est propre et lisible. Le format markdown respecte bien la contrainte (## titre + liste à puces), les formules courtes sont présentes sans démonstration longue, et la longueur est dans la cible (~120 mots). Une légère imprécision dans la convention de notation des médianes (m_a désigne la médiane issue de A, donc relative au côté opposé a=13, ce qui est cohérent ici) mais sans erreur réelle.
## Propriétés du triangle (13, 14, 15)
Pour un triangle de côtés $a = 13$, $b = 14$ et $c = 15$ :
* **Aire ($A$)** : $84$. Calculée via la formule de Héron avec un demi-périmètre $s = 21$ : $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
* **Rayon du cercle inscrit ($r$)** : $4$. Formule : $r = \frac{A}{s} = \frac{84}{21}$.
* **Rayon du cercle circonscrit ($R$)** : $8,125$ (soit $\frac{65}{8}$). Formule : $R = \frac{abc}{4A} = \frac{2730}{336}$.
* **Médianes ($m$)** : Calculées selon le théorème d'Apollonius ($m_x = \frac{1}{2}\sqrt{2y^2 + 2z^2 - x^2}$) :
* $m_a$ (sur le côté 13) : $\frac{\sqrt{673}}{2} \approx 12,97$
* $m_b$ (sur le côté 14) : $2\sqrt{37} \approx 12,17$
* $m_c$ (sur le côté 15) : $\frac{\sqrt{505}}{2} \approx 11,24$
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7.5/103.1 s
googlegemini-flash-lite-latest
Tokens976
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Exactitude
7
Rigueur
8
Notation
8
Complétude
9
Fidélité
7
Global
7.5
Revue
Les résultats principaux (aire=84, r=4, R=8.125) sont corrects, mais les médianes présentent des erreurs de calcul : m_a devrait être √(2×196+2×225-169)/2 = √(392+450-169)/2 = √673/2 ≈ 12.98, pas √725/2; m_b = √(338+450-196)/2 = √592/2 ≈ 12.17; m_c = √(338+392-225)/2 = √505/2 ≈ 11.23 — toutes trois incorrectes. La notation LaTeX est propre et lisible, le format markdown est respecté avec titre et liste à puces, mais le texte dépasse légèrement les ~120 mots demandés (environ 150 mots).
Le modèle respecte parfaitement toutes les contraintes de format, de longueur et de notation LaTeX. Cependant, une erreur de calcul est présente dans le rayon du cercle circonscrit : 13 * 14 * 15 / (4 * 84) donne 65/8 (8.125), mais le calcul intermédiaire affiché (273/336) est erroné (le produit est 2730, pas 273). L'exactitude mathématique est donc légèrement entachée malgré la justesse du résultat final pour R.
Les valeurs clés (aire=84, r=4, R=65/8) sont correctes, mais les médianes présentent des erreurs : m_b devrait être √(2×13²+2×15²−14²)/2 = √(338+450−196)/2 = √592/2 ≈ 12,17 et non √(65/2)≈10,99, et m_c est aussi incorrecte (√(2×13²+2×14²−15²)/2 = √(338+392−225)/2 = √505/2 ≈ 11,23). Le format markdown est globalement respecté avec liste à puces et LaTeX, mais le texte dépasse légèrement 120 mots et la dernière formule LaTeX n'est pas fermée proprement. La notation LaTeX est globalement claire et lisible.
Le modèle respecte parfaitement le format, la structure et la contrainte de longueur. Cependant, il commet une erreur de calcul majeure sur la première médiane ($m_a$), dont le résultat exact est $\frac{\sqrt{673}}{2} \approx 12,97$ et non $\frac{\sqrt{77}}{2}$. Les autres calculs de base sont corrects.
Les résultats mathématiques sont presque tous faux : l'aire est correcte (84) mais la formule affichée est incohérente, le rayon inscrit devrait être r = A/s = 84/21 = 4 (pas 1/12), le rayon circonscrit devrait être R = abc/(4A) = 2730/336 ≈ 8.125 (pas 7/24), et les médianes sont totalement erronées (formules inventées au lieu de m_a = ½√(2b²+2c²−a²)). Le format markdown est respecté (titre ##, liste à puces) et la notation LaTeX est utilisée, mais les formules appliquées sont inventées et incorrectes, ce qui nuit gravement à la rigueur et à la complétude.
Le modèle a parfaitement respecté toutes les contraintes du prompt : le format Markdown est exact, les formules sont en LaTeX, la concision est respectée et les résultats mathématiques sont tous corrects. L'utilisation de l'unité 'm' est une légère extrapolation mais n'affecte pas la qualité de la réponse.
Le modèle respecte parfaitement le format Markdown, la structure demandée et la contrainte de concision. Cependant, il y a des erreurs de calcul importantes sur les médianes : la valeur de m_a est fausse (sqrt(1012) au lieu de sqrt(612)), tout comme m_b et m_c, ce qui impacte la note de justesse mathématique malgré une notation LaTeX impeccable.
Le modèle a parfaitement respecté toutes les contraintes du prompt. Les calculs mathématiques sont exacts (aire de 84, rayons et médianes), le format Markdown est strictement suivi, et l'utilisation de LaTeX est impeccable. La concision est optimale, respectant largement la limite de mots tout en fournissant les formules demandées.
## Triangle ABC — côtés 13, 14 et 15
- Demi-périmètre : $s=\frac{13+14+15}{2}=21$.
- Aire : $\mathcal A=\sqrt{s(s-13)(s-14)(s-15)}=84$.
- Rayon du cercle inscrit : $r=\frac{\mathcal A}{s}=\frac{84}{21}=4$.
- Rayon du cercle circonscrit : $R=\frac{abc}{4\mathcal A}=\frac{13\times14\times15}{4\times84}=\frac{65}{8}=8{,}125$.
- Médiane issue de $A$ vers le côté $a=13$ : $m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}=\frac{\sqrt{673}}{2}\approx12{,}97$.
- Médiane issue de $B$ vers $b=14$ : $m_b=\frac{\sqrt{592}}{2}=\sqrt{148}\approx12{,}17$.
- Médiane issue de $C$ vers $c=15$ : $m_c=\frac{\sqrt{505}}{2}\approx11{,}24$.
openaigpt-5.5-pro
9.9/1036.3 s
openaigpt-5.5-pro
Tokens600
Code source608 B
Temps36.3 s
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Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
9.88
Revue
Le modèle respecte parfaitement toutes les contraintes du prompt : format Markdown, utilisation de LaTeX, concision exemplaire et exactitude mathématique totale. Les calculs de l'aire (Heron), des rayons et des médianes (Apollonius) sont corrects et présentés de manière très lisible.
## Triangle 13-14-15
- Demi-périmètre : $s=\frac{13+14+15}{2}=21$.
- Aire : $\mathcal A=\sqrt{s(s-13)(s-14)(s-15)}=84$.
- Rayon du cercle inscrit : $r=\frac{\mathcal A}{s}=4$.
- Rayon du cercle circonscrit : $R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\mathcal A}=\frac{65}{8}=8{,}125$.
- Médiane au côté $13$ : $m_{13}=\frac12\sqrt{2\cdot14^2+2\cdot15^2-13^2}=\frac{\sqrt{673}}{2}\approx12{,}971$.
- Médiane au côté $14$ : $m_{14}=\frac12\sqrt{2\cdot13^2+2\cdot15^2-14^2}=2\sqrt{37}\approx12{,}166$.
- Médiane au côté $15$ : $m_{15}=\frac12\sqrt{2\cdot13^2+2\cdot14^2-15^2}=\frac{\sqrt{505}}{2}\approx11{,}236$.
productiviamatania-latest
9.9/103.2 s
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Tokens656
Code source835 B
Temps3.2 s
Jugement Matania
Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
9.88
Revue
Le modèle a parfaitement respecté toutes les contraintes du prompt : le format Markdown est correct, les calculs mathématiques sont exacts et la longueur est optimale. L'utilisation de LaTeX est soignée et la concision demandée est parfaitement maîtrisée sans sacrifier la clarté des formules.
## Propriétés du triangle ABC (13, 14, 15)
Soient les côtés $a = 14$, $b = 15$ et $c = 13$.
* **Aire ($A$)** : $84$
* Formule (Héron) : $A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ avec $p = 21$
* **Rayon du cercle inscrit ($r$)** : $4$
* Formule : $r = \frac{A}{p}$
* **Rayon du cercle circonscrit ($R$)** : $8,125$ (ou $\frac{65}{8}$)
* Formule : $R = \frac{abc}{4A}$
* **Longueurs des médianes** :
* Médiane issue de $A$ ($m_a$) : $\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2} = \frac{\sqrt{2(225+169)-196}}{2} = \frac{\sqrt{592}}{2} = \sqrt{148} \approx 12,17$
* Médiane issue de $B$ ($m_b$) : $\frac{\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}}{2} = \frac{\sqrt{2(196+169)-225}}{2} = \frac{\sqrt{505}}{2} \approx 11,24$
* Médiane issue de $C$ ($m_c$) : $\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}}{2} = \frac{\sqrt{2(196+225)-169}}{2} = \frac{\sqrt{673}}{2} \approx 12,97$
xaigrok-4-1-fast-non-reasoning
8.9/103.8 s
xaigrok-4-1-fast-non-reasoning
Tokens667
Code source876 B
Temps3.8 s
Jugement Matania
Exactitude
4
Rigueur
7
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
8.88
Revue
Le modèle respecte parfaitement le format Markdown, la longueur et les contraintes de notation demandées. Cependant, il y a des erreurs mathématiques critiques : le calcul du rayon du cercle circonscrit est faux (le résultat intermédiaire 273/336 est erroné, le bon résultat est 8.125 mais le calcul intermédiaire ne correspond pas) et les valeurs des médianes sont incorrectes (m_a devrait être environ 14, le calcul fourni donne 7.5 alors que la formule est appliquée avec des erreurs). La fidélité au prompt est excellente, mais l'exactitude mathématique est défaillante.
Les valeurs mathématiques sont quasi-toutes correctes : aire=84, r=4, R=65/8, et les trois médianes (m_a=√673/2, m_b=2√37, m_c=√505/2) sont exactes. La notation LaTeX est propre et lisible, avec les formules courtes entre parenthèses comme demandé. Le format markdown respecte bien les contraintes (titre ##, liste à puces, concis), et la longueur est dans la cible (~120 mots).
Le modèle respecte parfaitement toutes les contraintes du prompt : le format Markdown est exact, la notation LaTeX est impeccable et la longueur est très proche de la cible (~115 mots). Le raisonnement mathématique est juste, concis et la formule générale est correctement établie pour le cas où l'animateur ouvre n-2 portes.
## Problème de Monty Hall à 5 portes
**Contexte :** Vous choisissez une porte parmi 5. L'animateur en ouvre 3 sans révéler le prix. Faut-il changer ?
**Calcul :**
1. Probabilité initiale de bien choisir : $\frac{1}{5}$
2. Probabilité que le prix soit ailleurs : $\frac{4}{5}$
3. L'animateur ouvre 3 portes perdantes parmi les 4 restantes
4. Reste 1 porte alternative (inchangée)
5. Si vous aviez mal choisi (prob. $\frac{4}{5}$), cette porte contient le prix
**Résultat**
Ne rien changer : $P = \frac{1}{5}$
Changer : $P = \frac{4}{5}$
**Formule générale** pour $n$ portes (animateur ouvre $n-2$ perdantes) :
$$P(\text{changer}) = \frac{n-1}{n} \quad ; \quad P(\text{rester}) = \frac{1}{n}$$
Toujours changer : le gain est $(n-1)$ fois supérieur.
anthropicclaude-opus-4-6
8.3/107.9 s
anthropicclaude-opus-4-6
Tokens893
Code source872 B
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Exactitude
9
Rigueur
8
Notation
9
Complétude
8
Fidélité
8
Global
8.25
Revue
La solution est mathématiquement correcte : P(garder)=1/5, P(changer)=4/5 pour 5 portes, et la formule générale est juste. Le raisonnement est clair et bien structuré avec des étapes numérotées et une bonne notation LaTeX. La fidélité au prompt est bonne (format markdown, étapes numérotées, conclusion en gras, LaTeX), mais le prompt demandait '$ portes' (probablement 'n portes') et le texte dépasse légèrement les ~120 mots (environ 130-140 mots), ce qui entraîne une légère pénalité sur la fidélité.
## Problème de Monty Hall étendu
**Contexte :** 5 portes, 1 prix. Vous choisissez une porte, le présentateur ouvre 3 portes perdantes parmi les 4 restantes, puis vous propose de changer.
1. Probabilité initiale d'avoir choisi la bonne porte : $P(\text{garder}) = \frac{1}{5}$
2. Probabilité que le prix soit derrière l'une des 4 autres portes : $\frac{4}{5}$
3. Après ouverture de 3 portes perdantes, cette probabilité se concentre sur l'unique porte restante : $P(\text{changer}) = \frac{4}{5}$
4. Gain en changeant : $\frac{4/5}{1/5} = 4$ fois plus de chances.
### Formule générale pour $n$ portes
Le présentateur ouvre $n - 2$ portes perdantes :
$$P(\text{garder}) = \frac{1}{n}, \qquad P(\text{changer}) = \frac{n-1}{n}$$
**Résultat :** il faut toujours changer. L'avantage croît avec $n$ — pour $n = 5$, changer donne 80 % de chances contre 20 %.
anthropicclaude-opus-4-7
6.0/107.1 s
anthropicclaude-opus-4-7
Tokens1 180
Code source897 B
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Exactitude
4
Rigueur
4
Notation
7
Complétude
5
Fidélité
7
Global
6
Revue
La réponse est partiellement correcte : P(changer) = 4/5 pour le cas à 5 portes est juste, mais la formule générale P(changer) = (n-1)/(n(n-2)) est incorrecte — elle devrait être (n-1)/n si on ouvre n-2 portes et qu'il reste 1 porte, ce qui donne P(changer) = (n-1)/n, pas une fraction supplémentaire. La 'correction' dans le **Résultat** qui donne 4/15 par porte est une confusion entre probabilité conditionnelle et probabilité globale, introduisant une erreur supplémentaire. Le format markdown est bien respecté (titres, étapes numérotées, conclusion en gras), la notation LaTeX est correcte et lisible, et la longueur est dans la cible (~120 mots).
## Monty Hall à 5 portes
**Règles** : 5 portes, 1 voiture. Le joueur choisit une porte, puis le présentateur ouvre 3 portes perdantes parmi les 4 restantes. Faut-il changer ?
1. Probabilité que le choix initial soit gagnant : $P(\text{initial}) = \frac{1}{5}$.
2. Probabilité que la voiture soit ailleurs : $\frac{4}{5}$.
3. Après ouverture de 3 portes perdantes, il ne reste qu'une seule autre porte fermée.
4. Toute la masse $\frac{4}{5}$ se concentre sur cette porte : $P(\text{changer}) = \frac{4}{5}$.
5. Changer est donc 4 fois plus avantageux que rester.
## Formule générale ($n$ portes)
$$P(\text{rester}) = \frac{1}{n}, \quad P(\text{changer}) = \frac{n-1}{n(n-2)}$$
(le présentateur ouvre $n-2$ portes, laissant 1 autre porte fermée).
**Résultat** : pour $n=5$, changer donne $\frac{4}{15}$ par porte restante, soit un gain global de $\frac{4}{5}$ contre $\frac{1}{5}$.
anthropicclaude-sonnet-4-6
7.8/107.1 s
anthropicclaude-sonnet-4-6
Tokens874
Code source813 B
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Exactitude
9
Rigueur
8
Notation
9
Complétude
8
Fidélité
7
Global
7.75
Revue
Les résultats mathématiques sont corrects : P(gagner en changeant) = 4/5 pour 5 portes et (n-1)/n en général, avec l'hypothèse standard que Monty ouvre n-2 portes perdantes. La notation LaTeX est propre et lisible. Cependant, la fidélité au prompt souffre de quelques écarts : le texte dépasse légèrement ~120 mots (environ 140), et le prompt mentionnait '$ portes' (probablement 'n portes') ce qui est bien traité, mais la structure avec deux sections ## au lieu d'une seule et les étapes numérotées qui ne couvrent que la partie 5 portes (pas la formule générale) s'éloignent légèrement du format demandé d'étapes numérotées courtes unifiées.
## Problème de Monty Hall — 5 portes
**Mise en place :** 1 voiture, 4 chèvres. On choisit une porte, Monty ouvre 3 portes perdantes, puis on peut changer.
1. Probabilité initiale de tomber sur la voiture : $P(\text{initial}) = \dfrac{1}{5}$
2. Probabilité que la voiture soit derrière l'une des 4 autres portes : $\dfrac{4}{5}$
3. Monty élimine 3 mauvaises portes — toute cette masse $\dfrac{4}{5}$ se concentre sur **l'unique porte restante**.
4. En changeant : $P(\text{gagner}) = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$
---
## Formule générale — $n$ portes
Monty ouvre $n-2$ portes perdantes, il en reste une autre.
$$P(\text{gagner en changeant}) = \frac{n-1}{n}$$
$$P(\text{gagner en restant}) = \frac{1}{n}$$
**Résultat :** Changer est toujours optimal ; l'avantage croît avec $n$ et tend vers $1$.
coherecommand-r-08-2024
3.9/1010.2 s
coherecommand-r-08-2024
Tokens643
Code source827 B
Temps10.2 s
Jugement Matania
Exactitude
3
Rigueur
3
Notation
6
Complétude
3
Fidélité
4
Global
3.88
Revue
La formule générale donnée est incorrecte : dans le Monty Hall étendu à n portes où le présentateur ouvre n-2 portes, la probabilité de gagner en changeant est (n-1)/n seulement si le joueur choisit parmi les n-1 portes restantes aléatoirement, mais la formule correcte pour changer vers la seule autre porte restante est (n-1)/n — ce chiffre est numériquement correct pour le cas 5 portes (4/5), mais le raisonnement qui y mène est absent et non justifié. Le format présente des étapes mais celles-ci ne sont pas 'numérotées courtes' (elles sont nommées 'Étape 1' etc. mais sont assez longues), et le prompt demandait la formule pour '$' portes (probablement 'n' portes), ce qui est respecté. La notation LaTeX est correcte mais minimale, et les étapes manquent de calcul explicite des probabilités conditionnelles justifiant le résultat.
## Le problème de Monty Hall étendu à $n$ portes
**Étape 1 :**
On considère un jeu avec $n$ portes, numérotées de $1$ à $n$. Derrière une porte se trouve une voiture, derrière les autres, des chèvres. On choisit une porte au hasard, disons la porte $i$.
**Étape 2 :**
Le présentateur, qui connaît le contenu de toutes les portes, ouvre $n-2$ portes, révélant des chèvres. Il reste donc deux portes fermées : la porte $i$ et une autre, disons la porte $j$.
**Étape 3 :**
Le présentateur propose de changer de porte. La question est : faut-il changer ou rester sur la porte $i$ ?
**Résultat :**
Il est toujours avantageux de changer de porte. La probabilité de gagner en changeant est de $\frac{n-1}{n}$, quelle que soit la valeur de $n$. Ainsi, plus il y a de portes, plus il est avantageux de changer.
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6.75
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Les résultats mathématiques pour 5 portes sont corrects (1/5 vs 4/5), mais la formule générale est légèrement trop simplifiée : P(C) = (n-1)/n n'est valide que si l'animateur ouvre exactement n-2 portes, ce qui n'est pas toujours le cas général (parfois on suppose qu'il n'en ouvre qu'une). Le format markdown est partiellement respecté (titre H2 présent, conclusion **Résultat** présente), mais les étapes ne sont pas toutes 'courtes' comme demandé, et la longueur dépasse les ~120 mots (environ 170 mots), ce qui nuit à la fidélité. Le LaTeX est globalement correct et lisible.
## Le problème de Monty Hall à $n$ portes
1. **Choix initial** : Vous sélectionnez une porte parmi 5. La probabilité de gagner est $P(G) = \frac{1}{5}$, tandis que la probabilité que le prix soit derrière l'une des 4 autres portes est de $\frac{4}{5}$.
2. **Action de l'animateur** : Celui-ci ouvre 3 portes perdantes parmi les 4 que vous n'avez pas choisies.
3. **Report des probabilités** : La probabilité cumulée des portes non choisies ($\frac{4}{5}$) se concentre désormais intégralement sur l'unique porte restante fermée.
4. **Décision** : En conservant votre choix, vous gardez $\frac{1}{5}$ de chances de gagner. En changeant, vous bénéficiez de $\frac{4}{5}$.
Pour un jeu à $n$ portes où l'animateur en élimine $n-2$ :
- Probabilité de gagner en restant : $P(S) = \frac{1}{n}$
- Probabilité de gagner en changeant : $P(C) = \frac{n-1}{n}$
**Résultat** : Pour 5 portes, changer de choix porte les chances de victoire à $80\ \%$, contre $20\ \%$ pour le choix initial.
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Notation
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6.5
Revue
Le raisonnement pour le cas 5 portes est correct (4/5 en changeant), et la formule générale est mathématiquement valide pour le cas standard (k=n-2, une seule porte restante), mais le prompt demande '$' portes (littéralement le symbole dollar, probablement 'n') ce qui est ambigu — le modèle interprète correctement comme 'n'. La formule générale est bien posée mais manque de vérification avec le cas à 5 portes (n=5, k=3 donne (5-1)/(5·1)=4/5 ✓). Concernant la fidélité, le format utilise des sous-titres `###` non demandés, les étapes numérotées sont présentes, mais la longueur (~120 mots) est légèrement dépassée et la structure s'éloigne légèrement du format 'étapes numérotées courtes' demandé (deux blocs distincts au lieu d'un flux unifié).
## Le problème de Monty Hall à $n$ portes
### Cas à 5 portes
1. Initialement, la probabilité de choisir la bonne porte est $P(\text{gagnant}) = 1/5$.
2. La probabilité que la voiture soit derrière l'une des 4 autres portes est $P(\text{reste}) = 4/5$.
3. L'animateur ouvre 3 portes perdantes parmi ces 4. Il reste une seule porte fermée autre que votre choix initial.
4. La probabilité de $4/5$ se concentre désormais sur cette unique porte restante.
5. Changer de porte offre donc une probabilité de victoire de $4/5$, contre $1/5$ si vous restez sur votre choix.
### Formule générale pour $n$ portes
Si $n$ est le nombre total de portes et que l'animateur en ouvre $k$ (avec $k < n-1$), la probabilité de gagner en changeant est :
$$P(\text{gain}) = \frac{n-1}{n(n-k-1)}$$
**Résultat** : Pour 5 portes et 3 ouvertes, changer de porte donne $80 \%$ de chances de gagner.
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9.38
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Le modèle respecte parfaitement toutes les contraintes de formatage, de structure et de longueur demandées. Les résultats mathématiques pour le cas à 5 portes et la formule générale sont exacts. Le raisonnement est très concis, ce qui sacrifie un peu de rigueur explicative au profit de la contrainte de mots, mais reste parfaitement cohérent.
## Problème de Monty Hall étendu à 5 portes
1. **Initialisation** : Choisissez une porte parmi les 5.
2. **Monty Hall** : Monty ouvre 3 portes sur les 4 restantes qui ne cachent pas le prix.
3. **Décision** : Changez de porte pour celle restante non ouverte par Monty.
$$P(\text{gagnant | changement}) = \frac{4}{5}$$
**Conclusion** : En changeant de porte, vos chances de gagner augmentent à 80%.
## Formule générale pour $n$ portes
1. **Initialisation** : Choisissez une porte parmi les $n$.
2. **Monty Hall** : Monty ouvre $n-2$ portes sur les $n-1$ restantes qui ne cachent pas le prix.
3. **Décision** : Changez de porte pour celle restante non ouverte par Monty.
$$P(\text{gagnant | changement}) = \frac{n-1}{n}$$
**Résultat** : En changeant, vos chances de gagner sont de $\frac{n-1}{n}$.
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7
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8
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7.88
Revue
Le raisonnement mathématique est correct pour le cas à 5 portes (probabilité de 4/5 en changeant) et la formule générale est exacte. Cependant, la rigueur manque légèrement : il n'est pas explicitement justifié pourquoi la probabilité se 'concentre' sur la porte restante (principe de conservation des probabilités). La notation LaTeX est bien utilisée mais le signe '$' dans le prompt original ('$ portes') est littéralement repris dans le texte ('$ n $ portes'), ce qui est une interprétation correcte. Le format markdown respecte les titres `##`, les étapes numérotées et la conclusion `**Résultat**`, et la longueur (~120 mots) est bien respectée.
## Problème de Monty Hall à 5 portes
1. **Situation initiale** : 5 portes, 1 cache une voiture, 4 des chèvres. Vous choisissez une porte (ex. porte 1).
Probabilité initiale : $ P(\text{voiture}) = \frac{1}{5} $, $ P(\text{chèvre}) = \frac{4}{5} $.
2. **Monty ouvre 3 portes** : il révèle 3 chèvres (ex. portes 2, 3, 4), en évitant la vôtre et la voiture.
La probabilité que la voiture soit derrière votre porte reste $ \frac{1}{5} $.
3. **Probabilité résiduelle** : les $ \frac{4}{5} $ se concentrent sur la porte restante non ouverte (ex. porte 5).
4. **Stratégie optimale** : changez de porte pour obtenir $ P(\text{voiture}) = \frac{4}{5} $.
**Résultat** : Changer de porte multiplie vos chances par 4.
---
## Formule générale pour $ n $ portes
- **Ne pas changer** : $ P(\text{voiture}) = \frac{1}{n} $.
- **Changer** : $ P(\text{voiture}) = \frac{n-1}{n} $ après ouverture de $ n-2 $ portes.
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5
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5
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5.88
Revue
La résolution du cas à 5 portes est partiellement correcte : la probabilité de ne pas changer (1/5) est juste, et celle de changer (4/5) est correcte dans le cas standard où Monty ouvre exactement 3 portes et il reste exactement 1 alternative. Cependant, la formule générale est présentée de manière incomplète et le texte est tronqué en fin de réponse ('$\frac{4}{5' sans fermeture), ce qui nuit à la rigueur et à la complétude. La formule générale proposée $\frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1-k}$ est mathématiquement valide mais manque de contexte (il faut préciser qu'on choisit parmi les portes restantes et que $k = n-2$ dans le cas classique). La fidélité au format est globalement respectée (markdown, étapes numérotées, LaTeX), mais la longueur dépasse légèrement les ~120 mots et la conclusion est incomplète.
## Résolution du problème de Monty Hall étendu à 5 portes
1. **Initialisation** : 5 portes (1 voiture, 4 chèvres). Choix initial : probabilité de succès $P(C) = \frac{1}{5}$.
2. **Ouverture** : Monty ouvre 3 portes (toutes chèvres). Il reste 1 porte non choisie.
3. **Stratégie** :
- **Ne pas changer** : probabilité de gagner reste $\frac{1}{5}$.
- **Changer** : probabilité de gagner devient $\frac{4}{5}$ (car Monty concentre l'information sur les 4 autres portes).
**Résultat**
Pour $n$ portes, après ouverture de $k$ portes (chèvres), changer donne une probabilité de $\frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1-k}$ si $k < n-2$. Ici ($n=5$, $k=3$) : $\frac{4}{5
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3
Rigueur
3
Notation
5
Complétude
4
Fidélité
3
Global
3.38
Revue
La probabilité de gagner en changeant pour 5 portes est incorrecte : avec 5 portes et 3 ouvertes, la probabilité de gagner en changeant est 4/5 × 1/3 = 4/15... non, plus précisément (4/5)/(1 porte restante parmi 2) = 4/5 × 1/2 = 2/5, et non 3/4 comme indiqué. La formule générale est également erronée : si le présentateur ouvre toujours n-2 portes, la probabilité de gagner en changeant est (n-1)/[n×(n-2)] ou plus simplement dépend du nombre de portes ouvertes — le modèle donne (n-2)/(n-1) sans spécifier combien de portes sont ouvertes, ce qui est une formule incorrecte. Le texte est bien trop long (~350 mots au lieu de ~120), les étapes ne sont pas courtes, et la structure ne respecte pas pleinement le format demandé (étapes numérotées non concises, pas de formule LaTeX propre avec \frac).
## Problème de Monty Hall étendu à 5 portes
Le problème de Monty Hall est un classique de la théorie des probabilités. Dans sa version originale, il y a 3 portes, derrière l'une desquelles se trouve un prix, et derrière les deux autres, des chèvres. Le joueur choisit une porte, puis le présentateur, qui sait ce qui se trouve derrière chaque porte, ouvre une autre porte révélant une chèvre. Le joueur a alors le choix de changer son choix initial ou de s'en tenir à sa première porte.
Dans cette version étendue, il y a 5 portes. Le joueur choisit une porte, puis le présentateur ouvre 2 portes révélant des chèvres. Le joueur a alors le choix de changer son choix initial ou de s'en tenir à sa première porte.
### Étape 1 : Choix initial du joueur
Le joueur a une probabilité de 1/5 de choisir la porte gagnante.
### Étape 2 : Ouverture des portes par le présentateur
Le présentateur peut ouvrir 2 portes révélant des chèvres. Il y a 4 possibilités pour cela :
* Si la porte choisie par le joueur est la porte gagnante, le présentateur peut ouvrir n'importe quelle autre porte.
* Si la porte choisie par le joueur n'est pas la porte gagnante, le présentateur peut ouvrir n'importe quelle autre porte, à condition de ne pas révéler la porte gagnante.
### Étape 3 : Décision du joueur
Le joueur peut changer son choix initial ou s'en tenir à sa première porte. Si le joueur change son choix, il a une probabilité de 3/4 de gagner, car il y a 3 portes restantes et 2 d'entre elles sont des chèvres. Si le joueur s'en tient à sa première porte, il a une probabilité de 1/5 de gagner, car il y a 4 portes restantes et 1 d'entre elles est la porte gagnante.
**Résultat** : Le joueur a une probabilité de 3/4 de gagner s'il change son choix initial, et une probabilité de 1/5 de gagner s'il s'en tient à sa première porte.
## Formule générale pour $n$ portes
La formule générale pour le problème de Monty Hall à $n$ portes est la suivante :
* Si le joueur change son choix initial, il a une probabilité de $(n-2)/(n-1)$ de gagner.
* Si le joueur s'en tient à sa première porte, il a une probabilité de $1/n$ de gagner.
Cela s'explique par le fait que si le joueur change son choix, il y a $n-2$ portes restantes qui ne sont pas la porte gagnante, et $n-1$ portes en tout. Si le joueur s'en tient à sa première porte, il y a $n-1$ portes restantes, et $1/n$ d'entre elles est la porte gagnante.
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3
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4
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7
Global
5.63
Revue
La formule générale est incorrecte : dans le problème de Monty Hall étendu à n portes où l'hôte ouvre k portes perdantes (ici k=n-2, laissant 1 porte alternative), la probabilité de gagner en changeant est (n-1)/(n*(n-1-k)) = 1/(n-1) × (n-1)/n... En réalité avec n=5 et n-2=3 portes ouvertes, P(changer) = 4/(5×1) = 4/5 est numériquement correct pour ce cas spécifique, mais la formule générale P(N)=(n-1)/n est fausse car elle suppose toujours une seule porte alternative, ce qui n'est vrai que si l'hôte ouvre exactement n-2 portes. Le raisonnement manque de rigueur : il n'explicite pas le nombre de portes ouvertes dans la formule générale ni les hypothèses sur k. Le format markdown est globalement respecté (titres, étapes numérotées, conclusion en gras), mais la longueur dépasse légèrement les ~120 mots et la variable '$' du prompt est bien remplacée par 'n'.
## Problème de Monty Hall étendu à 5 portes
1. **Choix initial** : Un joueur choisit une porte parmi 5. La probabilité que le prix soit derrière cette porte est de $P(G)=\frac{1}{5}$, et pour les autres portes $P(N)=\frac{4}{5}$.
2. **Ouverture des portes** : L'hôte ouvre 3 des 4 portes restantes, toujours choisies sans le prix.
3. **Deuxième choix** : Le joueur a alors 2 portes (celle choisie et une autre) pour potentiellement gagner.
4. **Comparaison des stratégies** :
- Si le joueur reste : probabilité de gagner = $P(G)=\frac{1}{5}$.
- Si le joueur change : probabilité de gagner = $P(N)=\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{1} = \frac{4}{5}$.
**Résultat** : La meilleure stratégie est de changer de porte, avec une probabilité de gain de $\frac{4}{5}$.
## Formule générale pour $n$ portes
Pour $n$ portes :
- Probabilité de gagner en restant : $P(G) = \frac{1}{n}$
- Probabilité de gagner en changeant : $P(N) = \frac{n-1}{n}$
La stratégie optimale est de changer de porte.
openaigpt-5.4-nano
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Rigueur
5
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6
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Fidélité
4
Global
4.75
Revue
La formule générale est correcte pour le cas où l'on bascule vers une porte choisie aléatoirement parmi les restantes, mais le problème classique de Monty Hall étendu suppose que l'on bascule vers l'unique porte restante (k = N-2), ce qui donne P = (N-1)/N ; ici le modèle traite un cas plus général avec k quelconque sans le préciser clairement comme hypothèse, créant une confusion. L'étape 3 contient un LaTeX vide ('$$'), et certains raisonnements sont peu justifiés (notamment pourquoi on choisit k=1 dans l'exemple à 5 portes). La réponse dépasse nettement ~120 mots (environ 200+), comporte deux sections '## Titre' au lieu d'une structure unifiée, et ne respecte pas pleinement la contrainte de concision ni le format demandé.
## Monty Hall étendu à 5 portes
1. Soit $N=5$ portes, avec une seule voiture. Vous choisissez 1 porte : probabilité initiale
$P(\text{voiture})=\frac{1}{5}$, $P(\text{perdu})=\frac{4}{5}$.
2. Après votre choix, l’animateur ouvre $k$ portes différentes des vôtres, en montrant $k$ chèvres, puis vous pouvez basculer vers l’unique porte restante non ouverte.
3. Si vous aviez la voiture (probabilité $\frac{1}{5}$), alors toutes les portes restantes parmi les $N-1-k$ sont des chèvres : probabilité de gagner après bascule $$.
4. Si vous aviez tort (probabilité $\frac{4}{5}$), votre voiture est parmi les $N-1-k$ portes restantes ; en choisissant au hasard une de ces portes, la probabilité de gagner vaut $\frac{1}{N-1-k}$.
5. Donc
\[
P(\text{gain après bascule})=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{5-1-1}=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{15}.
\]
**Résultat** : pour 5 portes (en ouvrant $k=1$ chèvre), $P=\frac{4}{15}$.
## Formule générale pour $N$ portes
1. Initialement : $P(\text{carte})=\frac{1}{N}$, $P(\text{chèvre})=\frac{N-1}{N}$.
2. Après ouverture de $k$ chèvres, il reste $N-1-k$ portes possibles (hors votre choix).
3. En basculant vers une porte au hasard parmi celles-ci :
\[
P(\text{gain})=\frac{N-1}{N}\cdot\frac{1}{N-1-k}=\frac{N-1}{N(N-1-k)}.
\]
**Résultat** : $P=\dfrac{N-1}{N(N-1-k)}$.
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9
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10
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10
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10
Global
9.88
Revue
Le modèle respecte scrupuleusement toutes les contraintes : le format Markdown, les titres, la notation LaTeX, la concision et la structure demandée. Le raisonnement mathématique est exact et la formule générale est correctement déduite. La longueur est parfaitement calibrée pour rester concise tout en étant complète.
## Monty Hall à 5 portes
1. Il y a 5 portes, 1 voiture et 4 chèvres.
2. Premier choix :
$$P(\text{voiture})=\frac{1}{5},\quad P(\text{chèvre})=\frac{4}{5}$$
3. Le présentateur ouvre 3 portes avec des chèvres, sans jamais ouvrir la voiture.
4. Si l’on garde son choix initial :
$$P(\text{gagner})=\frac{1}{5}$$
5. Si l’on change pour l’unique autre porte fermée :
$$P(\text{gagner})=\frac{4}{5}$$
6. Formule générale avec $n$ portes, si le présentateur ouvre $n-2$ portes perdantes :
$$P(\text{gagner en gardant})=\frac{1}{n}$$
$$P(\text{gagner en changeant})=\frac{n-1}{n}$$
**Résultat** : à 5 portes, il faut changer : la probabilité de gagner passe de $\frac{1}{5}$ à $\frac{4}{5}$.
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9.9/10116.1 s
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10
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9
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10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
9.88
Revue
Le modèle respecte scrupuleusement toutes les contraintes : le format Markdown est exact, la notation LaTeX est parfaite et la longueur est optimale (~95 mots). Le raisonnement mathématique est rigoureux et la généralisation pour $n$ portes est correcte.
## Monty Hall à 5 portes
1. Le joueur choisit 1 porte parmi 5.
2. Probabilité que ce choix soit gagnant : $P(\text{bon})=\frac{1}{5}$.
3. Probabilité que le gain soit ailleurs : $P(\text{ailleurs})=\frac{4}{5}$.
4. L’animateur sait où est le gain et ouvre 3 portes perdantes.
5. Il reste donc la porte initiale et une seule autre porte fermée.
6. En restant : $P(\text{gain})=\frac{1}{5}$.
7. En changeant : $P(\text{gain})=\frac{4}{5}$.
Pour $n$ portes, si l’animateur ouvre $n-2$ portes perdantes :
$$P(\text{rester})=\frac{1}{n}, \qquad P(\text{changer})=\frac{n-1}{n}$$
**Résultat** : à 5 portes, changer gagne avec $\frac{4}{5}=80\,\%$, contre $20\,\%$ en restant.
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Rigueur
9
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7
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8.38
Revue
Le raisonnement mathématique est parfaitement exact et la notation LaTeX est impeccable. Cependant, le modèle a échoué sur la contrainte de structure (utilisation de sous-titres H3 au lieu d'étapes numérotées simples comme demandé) et a largement dépassé la limite de concision de 120 mots (le texte fait environ 160 mots). La fidélité est donc pénalisée malgré l'excellence du contenu.
## Le problème de Monty Hall étendu
### Résolution pour 5 portes
1. **Choix initial** : Vous choisissez une porte parmi $n = 5$. La probabilité de gagner est $P(\text{gagner}) = \frac{1}{5}$. La probabilité que la voiture soit derrière une autre porte est $P(\text{autre}) = \frac{4}{5}$.
2. **Action de l'animateur** : Monty Hall ouvre 3 portes perdantes parmi les 4 restantes.
3. **Changement de porte** : La probabilité de $\frac{4}{5}$ est désormais concentrée sur la seule porte restante non choisie.
4. **Calcul** : En changeant, votre probabilité de gagner devient $P(\text{gagner après changement}) = \frac{4}{5}$.
### Formule générale pour $n$ portes
Si l'animateur ouvre $k$ portes perdantes, la probabilité de gagner en changeant de porte est :
$$P = \frac{n-1}{n(n-k-1)}$$
Dans le cas classique où l'animateur ouvre toutes les portes sauf une (soit $k = n-2$) :
$$P = \frac{n-1}{n}$$
**Résultat** : Pour 5 portes, la probabilité est de $0,8$ (ou $80\ \%$) en changeant.
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7
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6
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8
Complétude
6
Fidélité
7
Global
6.88
Revue
La réponse est correcte pour le cas 5 portes avec ouverture de 3 portes, et la formule générale n-1/n est juste dans ce contexte particulier (ouverture de n-2 portes). Cependant, la généralisation est simpliste : la formule n-1/n suppose que l'hôte ouvre exactement n-2 portes, ce qui n'est pas l'unique convention possible pour le Monty Hall étendu — cette hypothèse critique n'est pas explicitée. Le format markdown est respecté (titres ##, étapes numérotées, **Résultat**), le LaTeX est correct, mais le prompt demandait '$ portes' (probablement 'n portes') et la longueur (~120 mots) est approximativement respectée. La concision nuit légèrement à la rigueur des justifications.
## Problème de Monty Hall à 5 portes
1. **Hypothèse initiale** : Choisissez 1 porte parmi 5. Probabilité de gagner : $\frac{1}{5}$.
2. **Révélation** : Hôte ouvre 3 portes vides (sur les 4 restantes, il évite la voiture si elle est dans votre choix).
3. **Cas voiture choisie initialement** (prob. $\frac{1}{5}$) : Hôte ouvre 3 portes vides parmi 4 ; changement perd.
4. **Cas voiture ailleurs** (prob. $\frac{4}{5}$) : Hôte laisse la voiture sur la porte restante ; changement gagne.
5. **Probabilité de gain par changement** : $\frac{4}{5}$.
## Généralisation à $n$ portes
1. Choix initial : prob. $\frac{1}{n}$.
2. Hôte ouvre $n-2$ portes vides.
3. Prob. gain par changement : $\frac{n-1}{n}$.
**Résultat** : Pour 5 portes, changez : probabilité $\frac{4}{5}$. Général : $\frac{n-1}{n}$.
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7.5/108.2 s
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Jugement Matania
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9
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7
Notation
9
Complétude
7
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7
Global
7.5
Revue
Mathématiquement correct : les probabilités de rester (1/n) et de switcher ((n-1)/n) sont exactes pour le cas standard où Monty ouvre n-2 portes. La notation LaTeX est propre et lisible. Cependant, le prompt demande une formule générale pour '$ portes' (variable générique), et la réponse traite directement n=5 en une seule ligne succincte sans vraiment développer les étapes pour ce cas spécifique. La structure est globalement respectée (## titre, étapes numérotées, **Résultat**) mais le contenu dépasse légèrement 120 mots et manque d'une dérivation explicite par Bayes ou conditionnement pour justifier rigoureusement la formule générale.
## Problème de Monty Hall à $n$ portes
1. Joueur choisit 1 porte sur $n$ : $P(\text{voiture choisie}) = \frac{1}{n}$, $P(\text{voiture ailleurs}) = \frac{n-1}{n}$.
2. Monty ouvre $n-2$ portes vides, laissant 1 porte fermée (hors choix initial).
3. **Cas voiture choisie** ($\frac{1}{n}$) : Monty choisit librement les $n-2$ portes à ouvrir parmi $n-1$ vides ; switch perd.
4. **Cas voiture ailleurs** ($\frac{n-1}{n}$) : Monty laisse la porte avec la voiture ; switch gagne.
5. **Pour $n=5$** : rester gagne $\frac{1}{5}$, switcher gagne $\frac{4}{5}$.
**Résultat** : Probabilité de gain en restant : $\frac{1}{n}$. En switchant : $\frac{n-1}{n}$.
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anthropicclaude-haiku-4-5-20251001
9.9/103.0 s
anthropicclaude-haiku-4-5-20251001
Tokens812
Code source642 B
Temps3.0 s
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Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
9.88
Revue
Le modèle respecte parfaitement toutes les contraintes : le format Markdown est correct, la longueur est concise et les règles mathématiques sont exactes. L'utilisation de LaTeX pour la suite de Fibonacci est pertinente et la suite de Conway est correctement calculée malgré sa complexité. La fidélité au prompt est exemplaire.
## Suites numériques : règles et prolongements
• **Fibonacci** : Chaque terme est la somme des deux précédents ($u_n = u_{n-1} + u_{n-2}$ avec $u_0 = 0, u_1 = 1$). Les trois termes suivants après 21 sont : **34, 55, 89**.
• **Conway « look-and-say »** : On décrit ce qu'on voit en lisant la suite précédente. Partant de 1 : « un 1 » → 11, « deux 1 » → 21, « un 2, un 1 » → 1211, « un 1, un 2, deux 1 » → 111221, « trois 1, deux 2, un 1 » → **312211, 13112221, 1113213211**.
• **Nombres premiers** : Entiers naturels supérieurs à 1 divisibles uniquement par 1 et eux-mêmes. Après 23 : **29, 31, 37**.
anthropicclaude-opus-4-6
8.3/107.0 s
anthropicclaude-opus-4-6
Tokens817
Code source584 B
Temps7.0 s
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Exactitude
9
Rigueur
8
Notation
9
Complétude
8
Fidélité
8
Global
8.25
Revue
Les résultats mathématiques sont quasiment tous corrects : Fibonacci (55, 89, 144 ✓), nombres premiers (29, 31, 37 ✓), et look-and-say globalement correct bien que la séquence de départ présentée soit un peu tronquée/implicite. Le format markdown est respecté avec le titre `##` et trois puces, la notation LaTeX est bien utilisée, et la longueur est concise (~100 mots). Mineure imperfection : le prompt demandait 3 puces sans titre élaboré 'Trois suites classiques', mais cela reste fidèle dans l'ensemble ; la rigueur pourrait être légèrement améliorée en précisant mieux le terme de départ pour look-and-say.
## Trois suites classiques
- **Fibonacci** — Chaque terme est la somme des deux précédents : $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, avec $F_1 = 1, F_2 = 1$. Suite : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 → **55, 89, 144**.
- **Look-and-say (Conway)** — On décrit le terme précédent à voix haute : 1 → « un 1 » → 11 → « deux 1 » → 21 → « un 2, un 1 » → 1211 → … Les trois termes suivant 111221 sont **312211, 13112221, 1113213211**.
- **Nombres premiers** — Entiers $n > 1$ divisibles uniquement par 1 et $n$. Suite : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 → **29, 31, 37**.
anthropicclaude-opus-4-7
8.8/106.0 s
anthropicclaude-opus-4-7
Tokens1 048
Code source608 B
Temps6.0 s
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Exactitude
9
Rigueur
8
Notation
9
Complétude
8
Fidélité
9
Global
8.75
Revue
Le contenu est mathématiquement exact : les termes Fibonacci (55, 89, 144), Conway (13112221, 1113213211, 31131211131221) et premiers (31, 37, 41) sont corrects. Le format markdown est respecté avec `## Titre` et 3 puces, la notation LaTeX est utilisée de manière pertinente ($F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$), et la longueur est concise (~80 mots, légèrement sous les 100 demandés mais acceptable). Les règles sont clairement énoncées sans redondance excessive.
## Règles de construction et prolongements
- **Fibonacci** : chaque terme est la somme des deux précédents, $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ avec $F_0 = 0$ et $F_1 = 1$. Après $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$, les trois suivants sont **55, 89, 144**.
- **Conway « look-and-say »** : chaque terme décrit le précédent en comptant les chiffres consécutifs. Après $1, 11, 21, 1211, 111221, 312211$, viennent **13112221, 1113213211, 31131211131221**.
- **Nombres premiers** : entiers $> 1$ n'admettant que 1 et eux-mêmes comme diviseurs. Après $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$, suivent **31, 37, 41**.
anthropicclaude-sonnet-4-6
8.8/106.4 s
anthropicclaude-sonnet-4-6
Tokens811
Code source588 B
Temps6.4 s
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Exactitude
9
Rigueur
8
Notation
9
Complétude
8
Fidélité
9
Global
8.75
Revue
La réponse est mathématiquement correcte : les termes Fibonacci (34, 55, 89), look-and-say et premiers sont exacts. Le format markdown est respecté avec `## Titre` et 3 puces, la notation LaTeX est utilisée de façon pertinente et lisible. La longueur est concise (~90 mots), conforme à la contrainte. Légère réserve sur la rigueur : la suite look-and-say pourrait préciser le point de départ explicitement, et la complétude pourrait être améliorée en indiquant clairement depuis quel terme les 3 suivants sont donnés pour chaque suite.
## Suites remarquables
- **Fibonacci** — Chaque terme est la somme des deux précédents : $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, avec $F_1 = 1, F_2 = 1$. Termes suivants (après 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21) : **34, 55, 89**.
- **Conway « look-and-say »** — On décrit le terme précédent à voix haute (nombre de fois qu'un chiffre se répète, puis le chiffre). Après 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211 : **13112221**, **1113213211**, **31131211131221**.
- **Nombres premiers** — Entier $p > 1$ divisible uniquement par 1 et lui-même. Après 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 : **29, 31, 37**.
coherecommand-r-08-2024
5.4/109.1 s
coherecommand-r-08-2024
Tokens591
Code source619 B
Temps9.1 s
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Exactitude
4
Rigueur
4
Notation
6
Complétude
5
Fidélité
6
Global
5.38
Revue
La suite de Conway est incorrecte : les termes donnés ne correspondent pas à une séquence cohérente (l'ordre est inversé et les valeurs sont erronées), ce qui pénalise fortement la correction et la rigueur. La suite de Fibonacci manque de contexte (on ne sait pas à partir de quel terme on repart), et les nombres premiers dépendent aussi du point de départ non précisé. Le format markdown est partiellement respecté (un seul `## Titre` au lieu d'un titre par suite, et les 3 puces sont présentes), ce qui nuit à la fidélité ; la longueur est approximativement respectée.
## Suites mathématiques
- Fibonacci : chaque terme est la somme des deux précédents. Les trois prochains termes sont : $5, 8, 13$.
- Suite de Conway : on décrit le terme précédent en disant combien de fois se répète chaque chiffre. Par exemple, $311221$ devient « une fois le chiffre $3$, deux fois le chiffre $1$, deux fois le chiffre $2$, une fois le chiffre $1$ ». Les trois prochains termes sont : $1321131112311311221$, $13112221$, $312211$.
- Nombres premiers : les nombres premiers sont ceux qui ne sont divisibles que par $1$ et eux-mêmes. Les trois prochains nombres premiers sont : $11, 13, 17$.
googlegemini-flash-latest
8.3/1011.0 s
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Tokens693
Code source584 B
Temps11.0 s
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Exactitude
9
Rigueur
8
Notation
9
Complétude
8
Fidélité
8
Global
8.25
Revue
Les trois suites sont correctement présentées avec leurs règles et les termes suivants exacts (Fibonacci: 34,55,89; Conway: termes corrects; premiers: 29,31,37). La notation LaTeX est bien utilisée pour Fibonacci. Le format markdown avec ## et puces est respecté, mais le titre choisi ('Trois suites mathématiques fondamentales') n'est pas exactement 'Titre' comme suggéré implicitement, et la longueur (~100 mots) est bien respectée. Un léger manque de rigueur sur la définition explicite du point de départ pour Conway (la suite n'est pas précisée depuis le début), mais globalement très satisfaisant.
## Trois suites mathématiques fondamentales
* **Suite de Fibonacci** : chaque terme est la somme des deux précédents, soit $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ (avec $F_0 = 0$ et $F_1 = 1$). Après 21 : 34, 55, 89.
* **Suite de Conway (« regarde et dis »)** : chaque terme décrit les chiffres du précédent (ex. : 1211 se lit « un 1, un 2, deux 1 », donnant 111221). Après 312211 : 13112221, 1113213211, 31131211131221.
* **Nombres premiers** : suite croissante des entiers naturels supérieurs à 1 n'ayant que deux diviseurs distincts, 1 et eux-mêmes. Après 23 : 29, 31, 37.
googlegemini-flash-lite-latest
6.9/102.7 s
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Tokens727
Code source692 B
Temps2.7 s
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Exactitude
9
Rigueur
7
Notation
8
Complétude
7
Fidélité
6
Global
6.88
Revue
Le contenu mathématique est globalement correct : les règles et les termes suivants pour Fibonacci (13, 21, 34), look-and-say (312211, 13112221, 1113213211) et les nombres premiers (17, 19, 23) sont exacts. Cependant, la fidélité au prompt est imparfaite : le titre du bloc markdown est inventé alors que le prompt demande `## Titre` sans préciser lequel, mais surtout le format demande 3 puces (une par suite) avec règle + 3 termes, ce qui est globalement respecté ; néanmoins la longueur (~100 mots) est respectée et la structure est cohérente. La notation LaTeX est utilisée pour Fibonacci ($F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$) mais absente pour les autres suites où elle aurait pu être pertinente, et les termes sont en gras plutôt qu'en LaTeX.
## Suites numériques et suites logiques
* **Suite de Fibonacci** : Chaque terme est la somme des deux précédents, définie par $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ avec $F_0 = 0$ et $F_1 = 1$. Pour la suite commençant par 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, les trois termes suivants sont : **13, 21, 34**.
* **Suite de Conway (« look-and-say »)** : Chaque terme décrit oralement les chiffres du précédent. À partir de « 1, 11, 21, 1211, 111221 », les trois termes suivants sont : **312211, 13112221, 1113213211**.
* **Nombres premiers** : Entiers naturels supérieurs à 1 n'admettant que deux diviseurs (1 et eux-mêmes). À partir de 2, 3, 5, 7, 11, 13, les trois termes suivants sont : **17, 19, 23**.
kimimoonshot-v1-128k
9.9/105.6 s
kimimoonshot-v1-128k
Tokens637
Code source803 B
Temps5.6 s
Jugement Matania
Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
9.88
Revue
Le modèle respecte parfaitement toutes les contraintes du prompt : le format Markdown est correct, la longueur est concise et l'usage de LaTeX est impeccable. Les réponses mathématiques pour les trois suites sont exactes, y compris la suite complexe de Conway. La structure est propre et répond précisément à la demande.
## Suites Mathématiques
- **Suite de Fibonacci**
La suite de Fibonacci est construite par récurrence : \( F_1 = 1 \), \( F_2 = 1 \) et pour \( n \geq 3 \), \( F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \). Les 3 termes suivants après \( F_{10} = 55 \) sont \( F_{11} = 89 \), \( F_{12} = 144 \), \( F_{13} = 233 \).
- **Suite de Conway « look-and-say »**
La suite de Conway est construite en décrivant la séquence des chiffres de la précédente valeur. Par exemple, 1 devient "un 1", c'est-à-dire 11, et ainsi de suite. Les 3 termes suivants après "111221" sont "312211", "13112221", "1113213211".
- **Nombres premiers**
Les nombres premiers sont les entiers naturels supérieurs à 1 qui n'ont pas de diviseurs autres que 1 et eux-mêmes. Les 3 nombres premiers suivants après 19 sont 23, 29, 31.
mistralmistral-large-latest
6.5/104.9 s
mistralmistral-large-latest
Tokens599
Code source650 B
Temps4.9 s
Jugement Matania
Exactitude
7
Rigueur
7
Notation
8
Complétude
6
Fidélité
6
Global
6.5
Revue
Les valeurs mathématiques sont globalement correctes (Fibonacci, premiers), mais la suite look-and-say est mal présentée : les termes donnés (11, 21, 1211) sont les 2e, 3e et 4e termes, pas les 3 'suivants' d'une suite donnée à un stade précis — le point de départ n'est pas clairement établi. Le format markdown utilise un seul `## Titre` mais la structure en 3 puces est respectée ; cependant le prompt demande une organisation en 3 puces distinctes (une par suite) et le contenu dépasse légèrement le format concis demandé (~100 mots). La notation LaTeX est correcte mais limitée à Fibonacci.
## Règles de construction et termes suivants
- **Suite de Fibonacci** :
Chaque terme est la somme des deux précédents : $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$ avec $F_0 = 0$ et $F_1 = 1$.
Termes initiaux : 0, 1, 1, 2, 3, 5.
**3 termes suivants** : 8, 13, 21.
- **Suite de Conway (« look-and-say »)** :
Chaque terme décrit le précédent en comptant les chiffres identiques consécutifs.
Terme initial : 1.
**3 termes suivants** : 11 (un 1), 21 (deux 1), 1211 (un 2, un 1).
- **Nombres premiers** :
Entiers naturels > 1 divisibles uniquement par 1 et eux-mêmes.
Termes initiaux : 2, 3, 5, 7, 11, 13.
**3 termes suivants** : 17, 19, 23
mistralmistral-small-latest
7.3/102.9 s
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Tokens546
Code source438 B
Temps2.9 s
Jugement Matania
Exactitude
8
Rigueur
7
Notation
8
Complétude
7
Fidélité
7
Global
7.25
Revue
Les règles et termes sont globalement corrects, mais la suite de Fibonacci présente une virgule parasite (', 1, 1, 2, 3, 5') et la suite des nombres premiers est tronquée (le backtick de fermeture manque, suggérant une génération incomplète). Le format markdown avec `## Titre` et 3 puces est respecté, mais la longueur est un peu courte et le terme manquant dans Fibonacci nuit à la clarté. La notation LaTeX est bien utilisée pour Fibonacci mais absente pour les autres suites où elle aurait pu être pertinente.
## Suites mathématiques
- **Fibonacci**
Règle : $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ avec $u_0 = 0$, $u_1 = 1$.
Termes : , 1, 1, 2, 3, 5, **8, 13, 21**.
- **Conway « look-and-say »**
Règle : décrire la suite des chiffres en comptant les groupes identiques.
Termes : 1, 11, 21, **1211, 111221, 312211**.
- **Nombres premiers**
Règle : entiers naturels > 1 divisibles uniquement par 1 et eux-mêmes.
Termes : 2, 3, 5, **7, 11, 13
mistralmistral-tiny-latest
2.9/102.2 s
mistralmistral-tiny-latest
Tokens631
Code source777 B
Temps2.2 s
Jugement Matania
Exactitude
3
Rigueur
3
Notation
1
Complétude
4
Fidélité
3
Global
2.88
Revue
La fidélité au prompt est faible : le format demandé est un `## Titre` unique avec 3 puces (une par suite), mais le modèle utilise trois sous-sections `###` sans puces. La longueur est également trop élevée (~130 mots). Sur le plan mathématique, la suite de Fibonacci manque de contexte (pas de termes initiaux explicites, et '1,1,2' dépend d'où on commence), la suite look-and-say est incorrecte (les termes donnés ne correspondent pas à une suite cohérente à partir d'un terme donné), et les nombres premiers (7,11,13) sont corrects si on part de 2,3,5. Aucune notation LaTeX n'est utilisée malgré la pertinence évidente (formule de récurrence Fibonacci $F_n = F_{n-1}+F_{n-2}$).
## Suites
### Suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes précédents. Elle commence généralement par 0 et 1. Les trois termes suivants sont donc 1, 1 et 2.
### Suite de Conway « look-and-say »
La suite de Conway « look-and-say » est une suite de chaînes de caractères dans laquelle chaque terme est obtenu en « lisant » le terme précédent. Par exemple, le terme suivant de "1" est "un 1", soit "11". Les trois termes suivants sont donc "deux 1s", "trois 2", et "un 1, un 2".
### Nombres premiers
Les nombres premiers sont des nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes. Le premier nombre premier est 2, suivi de 3 et 5. Les trois termes suivants sont 7, 11 et 13.
openaigpt-4o-mini
5.5/106.9 s
openaigpt-4o-mini
Tokens618
Code source723 B
Temps6.9 s
Jugement Matania
Exactitude
5
Rigueur
5
Notation
5
Complétude
5
Fidélité
6
Global
5.5
Revue
La structure markdown est globalement respectée (## titre, 3 puces), mais la fidélité est imparfaite car le prompt demandait la règle ET les 3 termes suivants pour chaque suite sans préciser de point de départ ambigu — la suite de Fibonacci présente des erreurs de rendu LaTeX (F_ et F_1 sans indice visible, probablement F_0=0, F_1=1 mais mal rendu). Pour Conway, les termes donnés (111221, 312211, 13112221) semblent corrects si on part de 1→11→21→1211, mais le contexte de départ n'est pas explicité clairement. La notation LaTeX est défectueuse (indices manquants sur F_), ce qui nuit à la lisibilité. La concision (~100 mots) est approximativement respectée.
## Règles de construction des suites
- **Suite de Fibonacci** : Chaque terme est la somme des deux termes précédents. On commence généralement avec \( F_ = \) et \( F_1 = 1 \). Les trois termes suivants après \( F_, F_1 \) sont \( 1, 2, 3 \).
- **Suite de Conway « look-and-say »** : On décrit le terme précédent. Pour \( 1 \), on a « un 1 » qui donne \( 11 \), pour \( 11 \) c'est « deux 1 » qui donne \( 21 \), et pour \( 21 \), c'est « un 2, un 1 » qui donne \( 1211 \). Les trois termes suivants sont \( 111221, 312211, 13112221 \).
- **Nombres premiers** : Liste des nombres qui ne sont divisibles que par \( 1 \) et eux-mêmes. Les trois premiers termes après \( 2, 3, 5 \) sont \( 7, 11, 13 \).
openaigpt-5.4-nano
6.6/102.7 s
openaigpt-5.4-nano
Tokens607
Code source680 B
Temps2.7 s
Jugement Matania
Exactitude
7
Rigueur
6
Notation
6
Complétude
6
Fidélité
7
Global
6.63
Revue
Le format markdown est globalement respecté (titre `##`, 3 puces), mais il manque les règles explicites pour chaque suite de façon claire et il y a une erreur de notation LaTeX visible ($F_=$ au lieu de $F_0=0$ ou $F_1=1$). Les termes suivants pour Fibonacci et Conway sont corrects, mais la suite débute sans contexte clair sur les termes initiaux donnés ; pour les premiers, les termes 17, 19, 23 sont exacts si on part de 11 et 13. La concision est respectée (~100 mots), mais la qualité LaTeX est imparfaite (formule cassée pour F_0).
## Règles et termes suivants
- **Suite de Fibonacci** : $F_=$, $F_1=1$ et, pour $n\ge 2$, $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$. Les trois termes suivants après $1,\,1$ sont : $2,\,3,\,5$.
- **Suite de Conway (look-and-say)** : chaque terme décrit le précédent par comptage consécutif des chiffres. Règle : « on lit le terme précédent comme des groupes identiques : nombre + chiffre ». Les trois termes suivants après $1211$ sont : $111221,\,312211,\,13112221$.
- **Nombres premiers** : on construit la suite en listant les entiers $>1$ divisibles uniquement par $1$ et eux-mêmes (crible d’Ératosthène possible). Les trois termes suivants après $11,\,13$ sont : $17,\,19,\,23$.
openaigpt-5.5
9.4/1011.6 s
openaigpt-5.5
Tokens565
Code source512 B
Temps11.6 s
Jugement Matania
Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
9
Global
9.38
Revue
L'exactitude mathématique est parfaite pour les trois suites. La notation LaTeX est correctement utilisée et le format Markdown respecte presque toutes les consignes, bien que le titre demandé était '## Titre' (générique) et non '## Suites'. La concision est excellente et respecte la limite de mots.
## Suites
- **Fibonacci** — Chaque terme est la somme des deux précédents : $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$. Début usuel : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 ; **suivants : 13, 21, 34**.
- **Conway « look-and-say »** — On lit le terme précédent par groupes : « 111221 » = trois 1, deux 2, un 1. Après 1, 11, 21, 1211, 111221 ; **suivants : 312211, 13112221, 1113213211**.
- **Nombres premiers** — Entiers $>1$ divisibles seulement par 1 et eux-mêmes. Après 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ; **suivants : 19, 23, 29**.
openaigpt-5.5-pro
8.4/1077.6 s
openaigpt-5.5-pro
Tokens564
Code source508 B
Temps77.6 s
Jugement Matania
Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
7
Global
8.38
Revue
L'exactitude mathématique et l'utilisation du LaTeX sont parfaites. Cependant, la fidélité au prompt est pénalisée car le modèle a utilisé un titre générique '## Suites classiques' au lieu de respecter la structure implicite demandée par les titres de suites, et le formatage des puces ne correspond pas exactement à l'attente d'un titre par suite si l'on interprète strictement la demande de titres Markdown. La concision est excellente.
## Suites classiques
- **Fibonacci** — Départ usuel $F_0=0$, $F_1=1$, puis $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. Après $0,1,1,2,3,5,8$, les 3 suivants sont $13,21,34$.
- **Conway « look-and-say »** — On lit le terme précédent par groupes identiques : $111221$ se lit « trois 1, deux 2, un 1 ». Après $1,11,21,1211,111221$, les 3 suivants sont $312211,13112221,1113213211$.
- **Nombres premiers** — Entiers $>1$ divisibles seulement par $1$ et eux-mêmes. Après $2,3,5,7,11$, les 3 suivants sont $13,17,19$.
productiviamatania-latest
9.9/101.9 s
productiviamatania-latest
Tokens593
Code source627 B
Temps1.9 s
Jugement Matania
Exactitude
10
Rigueur
9
Notation
10
Complétude
10
Fidélité
10
Global
9.88
Revue
Le modèle respecte parfaitement toutes les contraintes du prompt : le format Markdown est correct, la longueur est concise et les notations LaTeX sont bien utilisées. Les réponses mathématiques pour les trois suites sont exactes et les termes suivants sont correctement identifiés.
## Suites mathématiques
* **Suite de Fibonacci** : Chaque terme est la somme des deux précédents, définie par $u_n = u_{n-1} + u_{n-2}$ avec $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$.
* Prochains termes : 5, 8, 13 (si l'on part de 0, 1, 1, 2, 3).
* **Suite de Conway (Look-and-say)** : Chaque terme décrit oralement la séquence précédente en comptant les groupes de chiffres identiques consécutifs.
* Prochains termes (après 1, 11, 21) : 1211, 111221, 312211.
* **Nombres premiers** : Entiers naturels supérieurs à 1 n'ayant que deux diviseurs distincts : 1 et eux-mêmes.
* Prochains termes (après 2, 3, 5) : 7, 11, 13.
xaigrok-4-1-fast-non-reasoning
5.4/103.0 s
xaigrok-4-1-fast-non-reasoning
Tokens568
Code source525 B
Temps3.0 s
Jugement Matania
Exactitude
5
Rigueur
5
Notation
5
Complétude
4
Fidélité
6
Global
5.38
Revue
La section Fibonacci contient une formule LaTeX corrompue ($a_ = $, $a_1 = 1$) et ne précise pas à partir de quel terme les 3 suivants sont donnés, ce qui nuit à la correction et à la rigueur. La suite look-and-say part d'un terme très avancé sans contexte, rendant les termes proposés difficiles à vérifier et potentiellement incorrects. Le format markdown est globalement respecté (## titre, 3 puces), mais la concision demandée (~100 mots) est approximativement respectée et les contraintes de notation LaTeX sont partiellement appliquées avec des erreurs.
## Suites demandées
- **Fibonacci** : Chaque terme est la somme des deux précédents, avec $a_ = $, $a_1 = 1$. Termes suivants : 21, 34, 55.
- **Conway « look-and-say »** : On décrit le terme précédent (ex. : 1 → « un 1 » = 11 ; 11 → « deux 1 » = 21). À partir de 13211321123113112211 : 31131211131221, 13211311123113112211, 11131221133112132113212221.
- **Nombres premiers** : Entiers naturels supérieurs à 1 sans diviseurs autres que 1 et eux-mêmes. Termes suivants (après 89, 97, 101) : 103, 107, 109.
xaigrok-4-1-fast-reasoning
6.5/1010.2 s
xaigrok-4-1-fast-reasoning
Tokens548
Code source444 B
Temps10.2 s
Jugement Matania
Exactitude
7
Rigueur
6
Notation
5
Complétude
6
Fidélité
7
Global
6.5
Revue
Le contenu est globalement correct (Fibonacci, look-and-say, premiers tous justes), mais la notation LaTeX est défectueuse : '$F_ = $' est manifestement tronqué/corrompu, laissant la formule illisible. La structure markdown (## + 3 puces) est respectée et la longueur est appropriée (~100 mots). La rigueur est partielle : les règles sont esquissées mais pas toujours clairement articulées (la suite look-and-say ne précise pas le terme de départ utilisé pour les suivants). La fidélité est bonne sur la forme globale mais le LaTeX cassé nuit à la qualité.
## Suites
- **Fibonacci** : $F_ = $, $F_1 = 1$, $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ pour $n \geq 2$. Termes suivants (après 5, 8, 13) : 21, 34, 55.
- **Conway « look-and-say »** : Décrire le terme précédent (comptage de chiffres consécutifs). Débute par 1, 11, 21, 1211. Termes suivants : 111221, 312211, 13112221.
- **Nombres premiers** : Entiers $>1$ sans diviseurs autres que 1 et eux-mêmes. Termes suivants (après 13, 17, 19) : 23, 29, 31.